\documentstyle[russian]{article}
\title{О понятии "быть свободной алгеброй" в HF-логике
       \footnote{Тез. докл. на Междун. конф. по мат. логике памяти А.И. Мальцева. -
                  Новосибирск, 1994. - С.84-85.}}
\author{В.Н.Ремесленников, Н.Г.Гороховская}
\date{}
\begin{document}

\maketitle

       Понятие "быть свободной алгеброй" ("быть свободной алгеброй
конечного ранга") не выразимо в логике первого порядка для
бесконечных объектов. Более интересной является проблема выразимости
этих понятий в  логике  наследственно  конечных
типов или HF-логике.  Основные понятия, связанные с этой логикой
можно найти в [1,2].

     Для формулировки результатов определим понятие арифметически
заданного многообразия алгебраических систем.

     {\bf Определение 1.} Пусть задано многообразие М алгебраических
систем конечной сигнатуры  $\sigma$,  определенное  множеством
тождеств
     $$\Omega=\{s_{\alpha}=t_{\alpha}|\alpha \in A\},$$
     где $s_{\alpha}, \ t_{\alpha}$ - термы и пусть $\nu$ -
     некоторая геделева нумерация термов сигнатуры $\sigma$.
     Будем говорить, что М арифметически задано, если
     множество $(\nu (s_{\alpha}), \nu (t_{\alpha}))$
     является арифметическим.

     {\bf Определение 2.} Понятие "быть $K$-алгеброй", где $K$
 - некоторое абстрактное свойство, будем называть
абсолютно определяемым в HF-логике,
если из того, что $A \equiv _{HF} B$
и В - $K$-алгебра следует, что А также $K$-алгебра.

     {\bf Определение 3.} Будем говорить, что свободная алгебра сигнатуры
$\sigma$ обладает свойством (*), если ни один базисный элемент этой
алгебры не является значением нетривиального терма сигнатуры $\sigma$.

     {\bf Теорема 1.} Пусть многообразие М арифметически задано и
обладает свойством (*). Тогда свойство "быть свободной алгеброй в
данном многообразии" является абсолютным в HF-логике.

	{\bf Следствие.} Понятие "быть свободной алгеброй" абсолютно для
следующих многообразий:

	1. многообразие всех полугрупп (коммутативных полугрупп),

	2. многобразие всех колец (ассоциативных, коммутативных).

Понятие "быть свободной группой" для класса абелевых групп
не является абсолютным.
Тем не менее, используя критерий Понтрягина о свободе для счетных абелевых
групп можно доказать следующую теорему.

	{\bf Теорема 2.}

1. Понятие "быть свободной абелевой группой" выразимо в HF-логике
в классе счетных групп.

2. Если произвольная абелева группа А эквивалентна в HF-логике некоторой
свободной абелевой группе, то А - счетно свободная абелева группа,
и наоборот, счетно свободная абелева группа
эквивалентна в HF-логике некоторой свободной
абелевой группе.

 Список литературы

[1] Беляев В.Я., Тайцлин М.А. Об элементарных свойствах экзистенционально
замкнутых систем // Успехи математических наук, т.34 (1979), N2, 39-94.

[2] Myasnikov A.G., Remeslennikov V.N. Elementary group equivalence with
the integral length function //Illinois Journal of Mathematics -
volume 30, number 2.


Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант N 93-011-1559.

\end{document}




