\documentstyle[russian,amssymb]{article}
\author{{\it М.Г. Амаглобели, В.Н. Ремесленников}}
\title{{\bf Нильпотентные A-группы ступени 2} 
         \footnote{Новосибирск: НИИ МИОО НГУ, 1996. - 19 с.}}
\date{}

\textwidth=15cm
\oddsidemargin=3cm
\textheight=23cm
\topmargin=15mm

\begin{document}

\large

\maketitle

\newcommand{\Q}{{\bf Q}}
\newcommand{\N}{{\bf N}}



Понятие $A$-степенной группы ($A$ -- произвольное ассоциативное кольцо
с единицей) введено в работе \cite{M-R}. Там же
доказаны простейшие свойства $A$-степенных групп. Понятие
$A$-многообразия и нильпотентного многообразия $A$-групп введены в
\cite{A}.

Настоящая статья есть продолжение этих работ и посвящена изучению
нильпотентных степенных групп ступени нильпотентности 2 для двух колец:
кольца многочленов от $t$
с рациональными коэффициентами $A=\Q[t]$ и его поля частных $A=\Q(t)$.

Даже в этом случае структура конечно порожденных 2-ступенно нильпотентных
$A$-степенных групп достаточно сложна. Поэтому  мы ограничиваемся случаем
2-порожденных групп.

В $\S 1$ этой статьи приведены основные $\alpha$-коммутаторные
тождества для 2-ступенно нильпотентных групп.  С помощью этих
тождеств в $\S 2$ описана база центра 2-ступенно нильпотентной группы
с порождающими $x$, $y$. В $\S 3$ описаны 2-порожденные 2-ступенно
нильпотентные $A$-группы. В частности показано, что существуют
2-порожденные не конечно определенные группы. В заключительном
параграфе исследованы основные алгоритмические проблемы для
рассматриваемого класса групп. Доказано, что при дополнительном условии
-- конечной определенности -- все эти проблемы имеют положительное решение,
а в общем случае -- для конечно порожденных групп --
отрицательное решение.



\section{Некоторые коммутаторные тождества для \newline $\alpha$-коммутаторов}

Напомним определение степенной группы. Пусть $A$ -- произвольное ассоциативное кольцо
с единицей, $G$ -- группа. Пусть задано действие $A$ на $G$, т.е.
отображение $G \times A \rightarrow G$. Результат действия
$\alpha \in A$ на $g \in G$ будем записывать в виде $g^{\alpha}$.

Рассмотрим аксиомы:


\begin{eqnarray} \label{ak1}
g^1=g,\; g^0=1, \; 1^{\alpha}=1;
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \label{ak2}
g^{\alpha+\beta}=g^{\alpha}\cdot g^{\beta}, \;
g^{\alpha\beta}=(g^{\alpha})^{\beta};
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \label{ak3}
(h^{-1}gh)^{\alpha} = h^{-1}g^{\alpha}h;
\end{eqnarray}


\begin{eqnarray} \label{ak4}
[g,h]=1 \Rightarrow (gh)^{\alpha}=g^{\alpha}h^{\alpha}.
\end{eqnarray}

{\bf Определение.} Группу $G$ будем называть {\it $A$-степенной группой}
(или {\it $A$-группой}), если на $G$ задано действие кольца $A$,
удовлетворяющее аксиомам (\ref{ak1})-(\ref{ak4}). В этом случае $A$
называется {\it кольцом скаляров} группы $G$.

Введем определение нильпотентности в категории $A$-степенных групп.
Для этого индукцией по $n$ определим понятие простого
$\overline{\alpha}$-коммутатора веса $n$, где
$\overline{\alpha}=(\alpha_1,\alpha_2, \ldots, \alpha_{n-1})$.
При $n=2$ это $\overline{\alpha}$-коммутатор
$(g_1,g_2)_{\alpha}$ элементов $g_1,\; g_2$ из $G$.
Пусть при $n \geq 2$ простые $\overline{\alpha}$-коммутаторы веса $n$
уже определены. Тогда простой $(\alpha_n,\overline{\alpha})$-коммутатор
есть $\alpha_n$-коммутатор $(x,g_n)_{\alpha_n}$, где $x$ есть простой
$\overline{\alpha}$-коммутатор. Далее, через
$$
W_n=\{(\ldots(x_1,x_2)_{\alpha_1}, x_3)_{\alpha_2}, \ldots, x_{n+1})_{\alpha_n}
\mid \alpha_1, \ldots, \alpha_n \in A \}
$$
обозначим множество всех простых $\overline{\alpha}$-коммутаторов веса
$(n+1)$ от букв $x_1, \ldots, x_{n+1}$. Многообразие групп, определяемое
множеством $A$-слов $W_n$ обозначим через ${\cal N}_{n,A}$. Группы
этого многообразия будем называть {\it нильпотентными $A$-группами
ступени нильпотентности $n$.} Для краткости вербальную подгруппу,
порожденную множеством слов $W_n$, будем обозначать через $\gamma_{n,A}$.

В этой статье мы будем интересоваться нильпотентными $A$-группами
ступени 2, т.е. группами многообразия, определяемого вербальной подгруппой
$\gamma_{2,A}$. Отметим, в частности,  что в 2-ступенно нильпотентной
$A$-группе все простые коммутаторы веса 3 и выше равны единице.

Договоримся о следующем обозначении. Если $H$ -- нормальная подгруппа $G$,
то запись $g_1 \mathop\equiv\limits_{H} g_2$ означает, что $g_1 g_2^{-1} \in H$.

Мы предполагаем, что читатель знаком  с основными определениями статей
\cite{M-R} и \cite{A}.
Перепишем аксиомы  (\ref{ak2})
степенной группы  на языке $\alpha$-коммутаторов.

$$
 g^{\alpha + \beta} = g^{\alpha} g^{\beta} \\
$$
\begin{eqnarray*}
(gh)^{\alpha + \beta} & = & g^{\alpha + \beta}h^{\alpha + \beta}
(g,h)_{\alpha + \beta}  =  g^{\alpha}g^{\beta}h^{\alpha}h^{\beta}
(g,h)_{\alpha + \beta}  =  \\(gh)^{\alpha}(gh)^{\beta} & = &
g^{\alpha}h^{\alpha}(g,h)_{\alpha}g^{\beta}h^{\beta}(g,h)_{\beta}
\mathop\equiv\limits_{G'}
g^{\alpha}g^{\beta}h^{\alpha}h^{\beta}(g,h)_{\alpha}
(g,h)_{\beta}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray} \label{eq1}
(g,h)_{\alpha + \beta} \mathop\equiv\limits_{G'} (g,h)_{\alpha}(g,h)_{\beta}, \
\end{eqnarray}
где  $G'$ -- обычный коммутант группы $G$.

$$
 (g^{\alpha})^{\beta}=g^{\alpha \beta}
$$
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{(g,h)^\beta_\alpha (h^\alpha, (g,h)_\alpha)_\beta
(g^\alpha, h^\alpha (g,h)_\alpha)_\beta} & & \\  & = &
(g,h)_\beta^\alpha (h^\beta, (g,h)_\beta)_\alpha
(g^\beta, h^\beta(g,h)_\beta)_\alpha
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray} \label{eq2}
(g,h)_{\alpha \beta} = (g,h)^\beta_\alpha (h^\alpha, (g,h)_\alpha)_\beta
(g^\alpha, h^\alpha (g,h)_\alpha)_\beta \
\end{eqnarray}

Пусть $z \in Z(G)$, где $Z(G)$ -- центр группы $G$, и $G$ --
2-ступенно нильпотентная группа. Тогда в \cite{A} доказано, что
$<Z(G)>_A$ также является центральной подгруппой в $G$.
В этом случае
$$
(gz,h)_{\alpha}=h^{-\alpha}(gz)^{-\alpha}(gzh)^{\alpha}=
h^{-\alpha}g^{-\alpha}z^{-\alpha}(gh)^{\alpha}z^{\alpha}=
$$
$$
=h^{-\alpha}g^{-\alpha}(gh)^{\alpha}=(g,h)_{\alpha}, \; \mbox{т.е.}
$$
если $z \in Z(G)$, то
\begin{eqnarray}  \label{eq3}
(gz,h)_{\alpha} \mathop\equiv\limits_{\gamma_{2,A}} (g,h)_{\alpha}
\end{eqnarray}

Перепишем формулу (\ref{eq2}) по модулю $\gamma_{2,A}$, учитывая
формулу (\ref{eq3}) и то, что в 2-ступенно нильпотентной $A$-группе $G$
$(g,h)_{\alpha} \in Z(G)$:

\begin{eqnarray} \label{ad1}
(g,h)_{\alpha\beta} \mathop\equiv\limits_{\gamma_{2,A}}
(g,h)_{\alpha}^{\beta}(g^{\alpha},h^{\alpha})_{\beta}
\end{eqnarray}

Если $\alpha=1$, то $(g,h)_{\alpha}=1$ для любых $g,h \in G$.
В этом случае формула (\ref{ad1}) примет вид

\begin{eqnarray} \label{ad2}
(g,h)_{\frac{1}{\alpha}}^{\alpha} \mathop\equiv\limits_{\gamma_{2,A}}
(g^{\frac{1}{\alpha}},h^{\frac{1}{\alpha}})_{\alpha}
\end{eqnarray}

Если $\beta=-1$, то $(g,h)_{-1}$ является обычным коммутатором.
Поэтому формула (\ref{ad1}) при $\beta=-1$ принимает вид

\begin{eqnarray} \label{ad3}
(g,h)_{-\alpha} \mathop\equiv\limits_{G'}
(g,h)_{\alpha}^{-1}
\end{eqnarray}

Если рациональное число $\gamma$ содержится в $A$ и $G'$ -- изолированная
подгруппа, то

\begin{eqnarray} \label{ad4}
(g,h)_{\gamma} \mathop\equiv\limits_{G'} 1
\end{eqnarray}

В самом деле, если $\gamma=n \in \Bbb N$, то в силу формулы (\ref{eq1})
$$
(g,h)_n=(g,h)_{\underbrace{1+ \ldots 1}_{n}} \mathop\equiv\limits_{G'}
(g,h)_1 \cdot (g,h)_1 \cdot \ldots \cdot (g,h)_1
\mathop\equiv\limits_{G'} 1
$$

В силу формулы (\ref{ad3}) сравнение (\ref{ad4}) верно и для любого
целого $n$.

Достаточно теперь это сравнение проверить для рациональных чисел вида
$\frac{1}{n}$. В этом случае, в силу формулы (\ref{eq2}),
полагая $\alpha=\frac{1}{n}, \; \beta=n$, имеем
$$
1=(g,h)_1=(g,h)^{n}_{\frac{1}{n}}
(h^{\frac{1}{n}},(g,h)_{\frac{1}{n}})_n
(g^{\frac{1}{n}},h^{\frac{1}{n}}(g,h)_{\frac{1}{n}})_n.
$$

Так как мы доказали сравнение (\ref{ad4}) для целых $n$, то
$$
1 \mathop\equiv\limits_{G'}  (g,h)_{\frac{1}{n}}^n;
$$
а из изолированности $G'$ следует справедливость сравнения (\ref{ad4})
для всех рациональных $\gamma$.

И, наконец, доказано в \cite{A} (формула (1)), что
\begin{eqnarray} \label{ad5}
[g^{\alpha},f^{\beta}] \mathop\equiv\limits_{\gamma_{2,A}}
[g,f]^{\alpha\beta}
\end{eqnarray}




\section{Свободные 2-ступенно нильпотентные группы }


Мы построим  свободную 2-ступенно нильпотентную
группу в двух случаях: а) $A=\Q[t]$; б) $A=\Q(t)$.

Даже в этом случае структура свободной 2-ступенно нильпотентной группы очень
сложна, хотя и допускает конструктивное описание. Чтобы не загромождать
изложение деталями, мы проведем построение этой группы для случая двух
порождающих $x$ и $y$.

{\bf Первый этап.}

Кольца, отмеченные выше в пунктах а) и б) являются биномиальными, т.е.
для любого ненулевого элемента $\alpha \in A$ и для любого натурального
числа $n$  они содержат биномиальные коэффициенты
$
\left( \begin{array}{c}
	      \alpha \\ n
	\end{array}
\right)
= \frac{\alpha (\alpha-1) \cdots (\alpha-n+1)}{1 \cdot 2 \cdots n}.
$

Напомним конструкцию построения свободной группы в категории холловых
степенных групп \cite{M-R, X}.

Обозначим через $G_0$ - свободную 2-ступенно нильпотентную $A$-группу в
категории холловых степенных групп с порождающими $x,y$. Мальцевская
база этой группы  состоит из трех элементов  $x, y, [y,x]$. Общий вид
элемента $g \in G_0$ следующий:
\begin{eqnarray} \label{eq4}
g = x^{\gamma} y^{\delta} [y,x]^{\varepsilon},
\gamma, \delta, \varepsilon \in A. \
\end{eqnarray}
Если
$$
g_1= x^{\gamma_1} y^{\delta_1} [y,x]^{\varepsilon_1}
$$
$$
g_2= x^{\gamma_2} y^{\delta_2} [y,x]^{\varepsilon_2},
$$
то
\begin{eqnarray} \label{eq5}
g_1 g_2 = x^{\gamma_1+\gamma_2} y^{\delta_1+\delta_2}
          [y,x]^{\varepsilon_1+\varepsilon_2+\delta_1 \gamma_2} \
\end{eqnarray}
Возведение элемента $g$ в степень $\mu \in A$ в категории Холла производится
по следующей формуле:
\begin{eqnarray} \label{eq6}
g^{\mu} = x^{\gamma \mu} y^{\delta \mu} [y,x]^{\varepsilon \mu +
	   \delta \gamma \frac{\mu (\mu - 1)} {2}}
     \
\end{eqnarray}
 Тогда хорошо известно и нетрудно
проверяется непосредственно, что группа $C=<[y,x]>_A$  совпадает с центром и коммутантом
группы $G_0$.

{\bf Второй этап.}

Мы построим с помощью мальцевской базы 2-ступенно нильпотентную группу $G$
и докажем в дальнейшем, что $G$ является свободной группой в многообразии
2-ступенно нильпотентных $A$-групп. (Необходимые сведения о многообразиях
степенных групп см. в  \cite{A}).

Обозначим через $D$ $A$-модуль с системой порождающих
\begin{eqnarray} \label{eq7}
\{ z_{\alpha, \beta, t } \mid \alpha \not= 0, \beta \not= 0,
\alpha, \beta \in A \} \
\end{eqnarray}
и некоторыми определяющими соотношениями.
Соотношение между порождающими элементами будут указаны позднее и будет
доказано, что $D$ является свободным $A$-модулем, базой которого будет
часть элементов из множества (\ref{eq7}). Положим $G=G_0 \times D$ и определим
на группе $G$ действие кольца $A$ так, чтобы в результате получилась
свободная 2-ступенно нильпотентная  степенная группа.

Так как $G = G_0 \times D$, то любой элемент $g \in G$ имеет запись
\begin{eqnarray*} %\label{eq8}
g = g_0 \cdot d          \
\end{eqnarray*}
где
$g_0 \in G_0, d \in D.$
Из определения степенной группы следует, что
$g^{\alpha} = g_0^{\alpha} d^{\alpha}$, а потому достаточно только
определить степень $\alpha$ для элемента $g_0 \in G_0$.


{\bf Третий этап.}

На этом этапе полагаем, что $A=\Q[t]$ и начинаем определять на $G$
структуру $A$-группы. Запишем произвольный элемент $g$ из $G$ в виде
$$
g = x^{\alpha} y^{\beta} z, где \; z \in C \times D.
$$
Из построения группы $G$ следует, что $C \times D$ есть центр группы $G$.
Допустим, что  мы определили действие кольца $A$ на $G$ и $\varepsilon$ --
произвольный элемент $A$. Тогда
$$
( x^{\alpha} y^{\beta} z ) ^{\varepsilon} =
( x^{\alpha} y^{\beta} ) ^ {\varepsilon} z^{\varepsilon}.
$$
В свою очередь,
$$
( x^{\alpha} y^{\beta} ) ^{\varepsilon} =
x^{\alpha \varepsilon} y^{\beta \varepsilon}
( x^{\alpha}, y^{\beta}  ) _{\varepsilon}.
$$
Отсюда ясно, что задание действия $A$ равносильно заданию элементов
вида $( x^{\alpha}, y^{\beta} ) _{\varepsilon}. $
Обозначим для краткости последний элемент через $z_{\alpha, \beta, \varepsilon}$
 и последовательно определим эти элементы в группе $G$, естественно стараясь,
чтобы при этом выполнялись аксиомы  степенной группы.

Полагаем
\begin{eqnarray} \label{eq9}
(x^{\alpha}, y^{\beta})_t = z_{\alpha, \beta, t}, если \
\alpha \not= 0, \beta \not= 0. \
\end{eqnarray}
Если $\alpha \beta = 0$, сохраняем обозначение (\ref{eq9}), считая, что
$z_{\alpha, \beta, t} =1$ в этом случае.
Остальные элементы вида $z_{\alpha, \beta, \varepsilon}$ мы распишем через
порождающие подгруппы $C \times D$, используя $\alpha$-коммутаторные тождества,
выведенные в \S 1.

а) Определим $z_{\alpha, \beta, \varepsilon}$, где $\varepsilon = t^k, k \in \N$.
Для этого мы используем многократно формулу (\ref{ad1}), полагая
$$
g=x^\alpha, h=y^\beta, \alpha_1=\alpha_2=\ldots=\alpha_k=t.
$$
В результате получаем следующее равенство
\begin{eqnarray} \label{eq10}
z_{\alpha, \beta, \varepsilon} = z_{\alpha, \beta, t}^{t^{k-1}}
z_{\alpha t, \beta t, t}^{t^{k-2}} \ldots
z_{\alpha t^{k-1}, \beta t^{k-1}, t}, где \;
\varepsilon = t^k   \
\end{eqnarray}

б) Определим $z_{\alpha, \beta, \varepsilon}$ в случае, когда
$\varepsilon = \gamma m, \gamma \in \Q$, $m$ -- моном.

Для этого мы используем формулу (\ref{ad1}), полагая
$g=x^\alpha, h=y^\beta, \beta = m, \alpha = \gamma.$
Формула (\ref{ad1}) перепишется следующим образом
\begin{eqnarray} \label{eq11}
z_{\alpha, \beta, \varepsilon} =
(x^{\alpha}, y^{\beta})_{\gamma}^m (x^{\alpha \gamma}, y^{\beta \gamma})_m  \
\end{eqnarray}
т.к. $\gamma$ - рациональное число, то $(x^{\alpha}, y^{\beta})_{\gamma}^m$ --
есть обычный коммутатор по формуле (\ref{ad4}). Посчитаем точно его значение.
По формуле (\ref{eq6})
$$
(x^{\alpha}, y^{\beta})^{\gamma} =
x^{\alpha \gamma}, y^{\beta \gamma} [y,x] ^{\alpha \beta
\frac{\gamma (\gamma - 1)}{2}}
$$
Следовательно,
$$
(x^{\alpha}, y^{\beta})_{\gamma} = [y,x] ^{\alpha \beta
\frac{\gamma (\gamma - 1)}{2}}.
$$
Теперь мы можем переписать формулу (\ref{eq11}) в виде
\begin{eqnarray} \label{eq12}
z_{\alpha, \beta, \varepsilon} = [y,x] ^{m \alpha \beta
\frac{\gamma (\gamma - 1)}{2}} z_{\alpha \gamma, \beta \gamma, m} \
\end{eqnarray}

в) Определим  $z_{\alpha, \beta, \varepsilon}$ в общем случае.

Пусть $\varepsilon = \varepsilon_1+\varepsilon_2+ \cdots +\varepsilon_k,$
где $\varepsilon_i$ -- мономы с коэффициентами из поля рациональных чисел.
Для этого мы используем формулу  (\ref{eq1}), полагая
$g=x^\alpha, h=y^\beta, \alpha_i = \varepsilon_i.$
В этом случае формула (\ref{eq1})  переписывается следующим образом:
\begin{eqnarray} \label{eq13}
z_{\alpha, \beta, \varepsilon} = z_{\alpha, \beta, \varepsilon_1} \cdot
\ldots \cdot z_{\alpha, \beta, \varepsilon_k}
[y,x]^{\alpha \beta (\varepsilon_1 \varepsilon_2 + \cdots +
\varepsilon_1 \varepsilon_k + \cdots + \varepsilon_{k-1} \varepsilon_k )}
\end{eqnarray}
С помощью формулы (\ref{eq13}) возведение элемента $g=x^{\alpha}y^{\beta}z$ в степень
$\varepsilon$ из $A$ осуществляется следующим образом:
\begin{eqnarray} \label{eq14}
g^{\varepsilon}=(x^{\alpha} y^{\beta} z)^{\varepsilon} =
x^{\alpha \varepsilon} y^{\beta \varepsilon} z^{\varepsilon}
z_{\alpha, \beta, \varepsilon},
\end{eqnarray}
где последний множитель вычисляется с помощью формул (\ref{eq10}),
(\ref{eq12}), (\ref{eq13}).

{\bf Четвертый этап.}

Прежде всего выведем формулу для $\varepsilon$-коммутатора для произвольных
элементов $g$ и $h$ из $G$.

Пусть
$$
g = x^{\alpha_1} y^{\beta_1} z_1, h = x^{\alpha_2} y^{\beta_2} z_2,
\; где \; z_1, z_2 \in C \times D.
$$
По определению
\begin{eqnarray} \label{eq15}
(gh)^{\varepsilon} = g^{\varepsilon} h^{\varepsilon} (g,h)_{\varepsilon}
\end{eqnarray}
Вычисляя обе части этой формулы и приравнивая их, мы получаем формулу
\begin{eqnarray} \label{eq16}
(g,h)_{\varepsilon} = z_{\alpha_1+\alpha_2, \beta_1+\beta_2, \varepsilon}
z_{\alpha_1, \beta_1, \varepsilon}^{-1} z_{\alpha_2, \beta_2, \varepsilon}
^{-1} [y,x]^{\alpha_2 \beta_1 (\varepsilon - \varepsilon^2)}
\end{eqnarray}

Ясно, что при определении действия кольца $A$ на группе $G$ с помощью
формулы (\ref{eq14}) аксиомы первой группы в определении степенной группы
выполнены.

Перейдем к проверке аксиом второй группы.

Проверим, что

\begin{eqnarray} \label{eq17}
g^{\varepsilon_1 + \varepsilon_2} = g^{\varepsilon_1} \cdot
g^{\varepsilon_2}.
\end{eqnarray}
По определению
$$
g^{\varepsilon_1 + \varepsilon_2 }= x^{\alpha (\varepsilon_1 + \varepsilon_2)}
y^{\beta (\varepsilon_1 + \varepsilon_2)}
z_{\alpha, \beta,(\varepsilon_1 + \varepsilon_2)}
$$
\begin{eqnarray*}
g^{\varepsilon_1} \cdot g^{\varepsilon_2} & = &
 x^{\alpha \varepsilon_1}
 y^{\beta \varepsilon_1} z_{\alpha, \beta, \varepsilon_1}
 x^{\alpha \varepsilon_2} y^{\beta \varepsilon_2}
 z_{\alpha, \beta, \varepsilon_2 } =  \\
& = & x^{\alpha (\varepsilon_1 + \varepsilon_2)}
 y^{\beta (\varepsilon_1 + \varepsilon_2)}
 [y,x]^{\alpha \beta (\varepsilon_1  \varepsilon_2)}
 z_{\alpha, \beta, \varepsilon_1} z_{\alpha, \beta, \varepsilon_2}
\end{eqnarray*}
или
$$
z_{\alpha, \beta, \varepsilon_1+\varepsilon_2} =
z_{\alpha, \beta, \varepsilon_1} z_{\alpha, \beta, \varepsilon_2}
[y,x]^{\alpha \beta \varepsilon_1  \varepsilon_2}
$$
Перепишем формулу (\ref{eq1}), полагая
$$
g=x^{\alpha}, h=y^{\beta}, \alpha=\varepsilon_1, \beta=\varepsilon_2
$$
Тогда
$$
z_{\alpha, \beta, \varepsilon_1+\varepsilon_2} =
z_{\alpha, \beta, \varepsilon_1} z_{\alpha, \beta, \varepsilon_2}
[y^{\beta},x^{\alpha}]^{\varepsilon_1  \varepsilon_2}=
z_{\alpha, \beta, \varepsilon_1} z_{\alpha, \beta, \varepsilon_2}
[y,x]^{\alpha \beta \varepsilon_1  \varepsilon_2}
$$
Отсюда следует, что имеет место равенство (\ref{eq17}).

Проверим, что
\begin{eqnarray} \label{eq18}
g^{\varepsilon_1  \varepsilon_2}=(g^{\varepsilon_1})^{\varepsilon_2}
\end{eqnarray}
Пусть $g=x^{\alpha} y^{\beta} z$. Результат проверки не зависит от $z$,
поэтому будем считать, что $g=x^{\alpha} y^{\beta}$. Тогда
$$
g^{\varepsilon_1  \varepsilon_2} =x^{\alpha \varepsilon_1  \varepsilon_2}
y^{\beta \varepsilon_1  \varepsilon_2} z_{\alpha, \beta, \varepsilon_1
\varepsilon_2},
$$
$$
(g^{\varepsilon_1})^{\varepsilon_2} =
(x^{\alpha \varepsilon_1} y^{\beta \varepsilon_1}
z_{\alpha, \beta, \varepsilon_1})^{\varepsilon_2} =
x^{\alpha \varepsilon_1  \varepsilon_2} y^{\beta \varepsilon_1  \varepsilon_2}
z_{\alpha \varepsilon_1, \beta \varepsilon_1, \varepsilon_2}
z_{\alpha, \beta, \varepsilon_1}^{\varepsilon_2} .
$$
Отсюда следует, что
$$
z_{\alpha, \beta, \varepsilon_1 \varepsilon_2} =
z_{\alpha \varepsilon_1, \beta \varepsilon_1, \varepsilon_2}
z_{\alpha, \beta, \varepsilon_1}^{\varepsilon_2}.
$$
Перепишем формулу (\ref{ad1}), полагая
$$
g=x^{\alpha}, h=y^{\beta}, \alpha=\varepsilon_1, \beta=\varepsilon_2.
$$
Получим, что
$$
z_{\alpha, \beta, \varepsilon_1 \varepsilon_2} =
z_{\alpha, \beta, \varepsilon_1}^{\varepsilon_2}
z_{\alpha \varepsilon_1, \beta \varepsilon_1, \varepsilon_2}
$$
Отсюда следует, что имеет место равенство (\ref{eq18}).

Проверим, что имеет место аксиома (3).
\begin{eqnarray} \label{eq19}
(f^{-1}gf)^{\varepsilon} = f^{-1}g^{\varepsilon}f
\end{eqnarray}
Левую часть равенства (\ref{eq19}) можно представить  таким образом
$$
(f^{-1}gf)^{\varepsilon} = (g [g,f])^{\varepsilon} =g^{\varepsilon}
[g,f]^{\varepsilon}
$$

Правую часть равенства (\ref{eq19}) представим в виде
$$
f^{-1}g^{\varepsilon}f = g^{\varepsilon} g^{-\varepsilon}f^{-1}
g^{\varepsilon} f = g^{\varepsilon} [g^{\varepsilon},f]
$$
Так как в 2-ступенно нильпотентных группах
$[g^{\varepsilon},f]=[g,f]^{\varepsilon}$ (см. формулу (\ref{ad5})), то имеет место
равенство (\ref{eq19}).

Наконец, проверим, что имеет место аксиома (4) в определении степенной
группы.
\begin{eqnarray} \label{eq20}
[g,h]=1 \Rightarrow (g,h)_{\varepsilon} = 1 \ для \ всех \
\varepsilon \in A .
\end{eqnarray}
Если
$g=x^{\alpha_1}y^{\beta_1}z_1$, $h=x^{\alpha_2}y^{\beta_2}z_2$, то
$[g,h]=1$ тогда и только тогда, когда определитель
$\Delta =
\left| \begin{array}{cc}
	  \alpha_1 & \beta_1 \\
	  \alpha_2 & \beta_2
       \end{array}
\right|$
равен нулю.

По формуле (\ref{eq16})
$$
(g,h)_{\varepsilon}=z_{\alpha_1+\alpha_2, \beta_1+\beta_2,\varepsilon}
z_{\alpha_1, \beta_1,\varepsilon}^{-1} z_{\alpha_2, \beta_2,\varepsilon}^{-1}
[y,x]^{\alpha_2 \beta_1 (\varepsilon - \varepsilon^2)}
$$
Следовательно,
\begin{eqnarray} \label{eq21}
(g,h)_{\varepsilon}=1 \Leftrightarrow
z_{\alpha_1+\alpha_2, \beta_1+\beta_2,\varepsilon}=
z_{\alpha_1, \beta_1,\varepsilon} z_{\alpha_2, \beta_2,\varepsilon}
[y,x]^{\alpha_2 \beta_1 (\varepsilon^2 - \varepsilon)}
\end{eqnarray}
и
$$
\Delta =
\left| \begin{array}{cc}
	  \alpha_1 & \beta_1 \\
	  \alpha_2 & \beta_2
       \end{array}
\right| =0
$$

Докажем, что соотношения (\ref{eq21}) следуют из соотношений
\begin{eqnarray} \label{eq22}
z_{\alpha_1+\alpha_2, \beta_1+\beta_2,t}=
z_{\alpha_1, \beta_1,t} z_{\alpha_2, \beta_2,t}
[y,x]^{\alpha_2 \beta_1 (t^2 - t)}, \ при \;
\Delta =
\left| \begin{array}{cc}
	  \alpha_1 & \beta_1 \\
	  \alpha_2 & \beta_2
       \end{array}
\right|
=0
\end{eqnarray}

В самом деле, пусть $\varepsilon=t^k,\ k \in \N,\ k>1$.
Надо доказать, что
$$
z_{\alpha_1+\alpha_2, \beta_1+\beta_2,t^k}=
z_{\alpha_1, \beta_1,t} z_{\alpha_2, \beta_2,t^k}
[y,x]^{\alpha_2 \beta_1 (t^{2k} - t^k)}.
$$
По формулам (\ref{eq10}) и (\ref{eq14}) левая часть будет иметь вид
$$
z_{\alpha_1+\alpha_2, \beta_1+\beta_2,t^k}=
z_{\alpha_1+\alpha_2, \beta_1+\beta_2,t}^{t^{k-1}}
z_{(\alpha_1+\alpha_2)t, (\beta_1+\beta_2)t,t}^{t^{k-2}} \ldots
z_{(\alpha_1+\alpha_2)t^{k-1}, (\beta_1+\beta_2)t^{k-1},t}
$$
$$
z_{\alpha_1+\alpha_2, \beta_1+\beta_2,t}^{t^{k-1}} =
z_{\alpha_1, \beta_1,t}^{t^{k-1}} z_{\alpha_2, \beta_2,t^k}^{t^{k-1}}
[y,x]^{\alpha_2 \beta_1 (t^2 - t) t^{k-1}}.
$$
$$
z_{(\alpha_1+\alpha_2)t, (\beta_1+\beta_2)t,t}^{t^{k-2}}=
z_{\alpha_1 t, \beta_1 t,t}^{t^{k-2}}
z_{\alpha_2 t, \beta_2 t,t}^{t^{k-2}}
[y,x]^{\alpha_2 \beta_1 t^2 (t^2 - t) t^{k-2}}
$$
$$
\cdots
$$
$$
z_{(\alpha_1+\alpha_2)t^{k-1}, (\beta_1+\beta_2)t^{k-1},t}=
z_{\alpha_1 t^{k-1}, \beta_1 t^{k-1},t}
z_{\alpha_2 t^{k-1}, \beta_2 t^{k-1},t}
[y,x]^{\alpha_2 \beta_1 t^{2k-2} (t^2 - t)}
$$
По формуле (\ref{eq10}) правая часть имеет вид
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{z_{\alpha_1, \beta_1,t^k} z_{\alpha_2, \beta_2,t^k}
[y,x]^{\alpha_2 \beta_1 (t^{2k}-t^k)}   = }  \\
& & z_{\alpha_1, \beta_1,t}^{t^{k-1}}
z_{\alpha_1 t, \beta_1 t, t}^{t^{k-2}} \cdots
z_{\alpha_1 t^{k-1}, \beta_1 t^{k-1},t} \cdot z_{\alpha_2, \beta_2,t}^{t^{k-1}}
z_{\alpha_2 t, \beta_2 t, t}^{t^{k-2}} \\
  &  & \cdots
z_{\alpha_2 t^{k-1}, \beta_2 t^{k-1},t}
[y,x]^{\alpha_2 \beta_1 (t^{2k}-t^k)}
\end{eqnarray*}

Отсюда следует, что соотношения (\ref{eq21}) при $\varepsilon = t^k$  следуют из
соотношений (\ref{eq22}).

Аналогичные рассуждения показывают, что соотношения (\ref{eq21}) при
$\varepsilon = \gamma t^k, \ \gamma \in \Q$ также следуют из соотношений
(\ref{eq22}).

И наконец, пусть $\varepsilon=\varepsilon_1 + \ldots + \varepsilon_k$, где
$\varepsilon_{\lambda}$ -- мономы. Надо доказать, что
$$
z_{\alpha_1+\alpha_2, \beta_1+\beta_2, \varepsilon_1 + \ldots + \varepsilon_k}  = 
$$
$$
z_{\alpha_1, \beta_1, \varepsilon_1 + \ldots + \varepsilon_k}
z_{\alpha_2, \beta_2, \varepsilon_1 + \ldots + \varepsilon_k}
[y,x]^{\alpha_2 \beta_1 [ (\varepsilon_1 + \ldots + \varepsilon_k)^2
- \varepsilon_1 - \ldots - \varepsilon_k ] }
$$
По формулам (\ref{eq13}) и (\ref{eq22}) левая часть имеет вид
%\begin{eqnarray*}
$$
z_{\alpha_1+\alpha_2, \beta_1+\beta_2, \varepsilon_1 + \ldots + \varepsilon_k}  =  
$$
$$
z_{\alpha_1+\alpha_2, \beta_1+\beta_2, \varepsilon_1 }  \cdot \ldots \cdot
z_{\alpha_1+\alpha_2, \beta_1+\beta_2, \varepsilon_k}
[y,x]^{(\alpha_1+\alpha_2) (\beta_1+\beta_2)
(\varepsilon_1  \varepsilon_2 + \ldots + \varepsilon_{k-1} \varepsilon_k)}  = 
$$
$$
 z_{\alpha_1, \beta_1, \varepsilon_1} z_{\alpha_2, \beta_2, \varepsilon_1}
[y,x]^{\alpha_2 \beta_1 (\varepsilon_1^2 - \varepsilon_1)}  \cdot \ldots  \cdot
z_{\alpha_1, \beta_1, \varepsilon_k} z_{\alpha_2, \beta_2, \varepsilon_k}
$$
$$
\cdot  [y,x]^{\alpha_2 \beta_1 (\varepsilon_k^2 - \varepsilon_k)}
[y,x]^{\varepsilon_1  \varepsilon_2 + \ldots + \varepsilon_{k-1} \varepsilon_k},
$$
%\end{eqnarray*}
а в правой части получается следующее:
\begin{eqnarray*}
z_{\alpha_1, \beta_1, \varepsilon_1 + \ldots + \varepsilon_k}
z_{\alpha_2, \beta_2, \varepsilon_1 + \ldots + \varepsilon_k}
[y,x]^{\alpha_2 \beta_1 [ (\varepsilon_1 + \ldots + \varepsilon_k)^2
- \varepsilon_1 - \ldots - \varepsilon_k ] } & = & \\
z_{\alpha_1, \beta_1, \varepsilon_1} \ldots z_{\alpha_1, \beta_1, \varepsilon_k}
[y,x]^{\alpha_1 \beta_1 (\varepsilon_1  \varepsilon_2 + \ldots +
\varepsilon_{k-1} \varepsilon_k)}
z_{\alpha_2, \beta_2, \varepsilon_1} \\ \ldots z_{\alpha_2, \beta_2, \varepsilon_k}
[y,x]^{\alpha_2 \beta_2 (\varepsilon_1  \varepsilon_2 + \ldots +
\varepsilon_{k-1} \varepsilon_k)} \cdot
[y,x]^{\alpha_2 \beta_1 [ (\varepsilon_1 + \ldots + \varepsilon_k)^2
- \varepsilon_1 - \ldots - \varepsilon_k ] }
\end{eqnarray*}

Сравнивая степени при коммутаторе $[y,x]$  в обеих частях равенства, имеем:

левая часть равенства есть
$$
\alpha_2 \beta_1  (\varepsilon_1^2 + \ldots + \varepsilon_k^2
- \varepsilon_1 - \ldots - \varepsilon_k ) +
(\alpha_1 + \alpha_2) (\beta_1 + \beta_2) (\varepsilon_1  \varepsilon_2
+ \ldots + \varepsilon_{k-1} \varepsilon_k)
$$
правая часть равенства есть
$$
\alpha_1 \beta_1 (\varepsilon_1  \varepsilon_2 + \ldots +
\varepsilon_{k-1} \varepsilon_k) +
\alpha_2 \beta_2 (\varepsilon_1  \varepsilon_2 + \ldots +
\varepsilon_{k-1} \varepsilon_k) +
$$
$$
\alpha_2 \beta_1  [(\varepsilon_1 + \ldots + \varepsilon_k)^2
- \varepsilon_1 - \ldots - \varepsilon_k ].
$$

Кроме того,
$ \alpha_1 \beta_2 = \beta_1 \alpha_2$.
Непосредственные вычисления показывают, что левая часть равна правой.

Итак, полностью доказано, что соотношения (\ref{eq21}) следуют из
соотношений (\ref{eq22}).

Соотношения  (\ref{eq22}) и есть обещанные соотношения между порождающими модуля $D$.
Тот факт, что модуль $D$-свободный, будет доказан ниже.

Таким образом, аксиомы степенной группы полностью проверены.


{\bf Пятый этап}

Построим базу для модуля $D$. Обозначим через
$A^2_0=\{(\alpha,\beta) \mid \alpha, \beta \in A, \alpha \beta \not = 0\}$
и введем отношение эквивалентности на $A^2_0$, полагая
$(\alpha_1, \beta_1) \sim (\alpha_2, \beta_2)$ тогда и только тогда, когда
определитель
$
\left| \begin{array}{cc}
	  \alpha_1 & \beta_1 \\
	  \alpha_2 & \beta_2
       \end{array}
\right|
$
равен нулю. Обозначим через $[(\alpha_1 , \beta_1)]$ класс эквивалентности,
содержащий пару $(\alpha_1 , \beta_1)$. С другой точки зрения классы
эквивалентности - это максимальные однопорождающие подмодули модуля $A$
без нулевого элемента. Пара $(\alpha_1 , \beta_1)$ порождает класс
$[(\alpha_1 , \beta_1)]$ как подмодуль
тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель пары
$(\alpha_1 , \beta_1)$ равен 1.

Зафиксируем в каждом классе эквивалентности из $A^2_0$ по одному порождающему
элементу и обозначим через $P$ - полученное множество порождающих. Для
порождающего элемента $t$ кольца $A$ обозначим через $Pt^k$ множество:
$$
Pt^k=\{(\alpha t^k, \beta t^k),\ где \ (\alpha, \beta) \in P\}.
$$
Наконец, пусть $P_{\infty}$ есть объединение множеств $Pt^k, k=0,1,2,\ldots$
и через $M=\{z_{\alpha, \beta, t} \mid (\alpha, \beta) \in P_{\infty}\}$
Обозначим через $D$ свободный $A$-модуль с базой $M$, а через
$G=G_0 \times D$.

{\bf Шестой этап.}

{\bf Теорема 1.} Группа $G$ является 2-ступенно нильпотентной $A$-группой
с базой $x, y.$

$\Box$
Пусть $F=F_A(x,y)$ - свободная 2-ступенно нильпотентная $A$-группа с базой
$x, y$. тогда существует $A$-гомоморфизм из $F$ в $G$, продолжающий естественное
отображение баз. С другой стороны, центр $C$ группы $F$ в силу тождеств
порождается $\alpha$-коммутаторами группы $F$ веса 2, т.е. элементами вида
$(g,h)_{\alpha}$, и фактор-группа $F/C$ - свободный $A$-модуль ранга 2.
С помощью формул (\ref{eq10}), (\ref{eq12}), (\ref{eq13}) каждый элемент $(g,h)_{\alpha}$
расписывется в виде произведения элементов $z_{\alpha, \beta, t}$ и $[y,x]$,
где пара $(\alpha, \beta) \in M$. Отсюда следует существование встречного
гомоморфизма
$\psi : G \rightarrow F, x^{\psi}=x, y^{\psi}=y$,
а потому гомоморфизм $\varphi$ является изоморфизмом.

{\bf Седьмой этап.} Переход от кольца $\Q[t]$ к полю $\Q(t)$.

Построим $G_0$, $D$ и $G$ так же, как и выше, заменив кольцо $\Q[t]$
на поле $\Q(t)$.


Для того, чтобы определить $A$-структуру на группе $G$ мы должны для любых
элементов $g, h \in G, \varepsilon \in A$ определить $\varepsilon$-коммутатор
$(g,h)_{\varepsilon}$. Как и выше для этого достаточно определить значение
функции
$ (x^{\alpha}, y^{\beta})_{\varepsilon}=z_{\alpha, \beta, \varepsilon}$.
Если $\varepsilon$ многочлен от $t$, то $z_{\alpha, \beta, \varepsilon}$
определяем как выше. Если же $\varepsilon = \frac{1}{\mu(t)}$, где
$\mu(t)$ многочлен, то поступаем так. Перепишем формулу (\ref{ad1}), полагая
$g=x^{\alpha},\ h=y^{\beta}, \alpha = \frac {1}{\mu}, \beta=\mu$.
Отсюда получаем, что
\begin{eqnarray} \label{eq23}
z_{\alpha, \beta, \frac {1}{\mu}} =
z_{\frac{\alpha}{\mu}, \frac{\beta}{\mu}, \mu}
\end{eqnarray}
Если же $\varepsilon = \frac {\mu_1(t)}{\mu_2(t)}$, то
$z_{\alpha, \beta, \varepsilon}$ в этом случае определяется естественным
способом с помощью формулы (\ref{ad1}).

Аксиомы $A$--степенной группы  при таком определении степени
проверяются так же, как и в случае кольца многочленов.

Построим базу для свободного модуля $D$ в рассматриваемой ситуации.

Порождающими элементами для классов эквивалентности могут быть выбраны
в этом случае пары вида $P=\{(1,\beta) \mid \beta \in A, \beta \not = 0 \}$,
а аддитивный базис $T=\{1,t^k, k \in \N \}$ кольца $\Q[t]$ пополним до
аддитивного базиса $S$ поля $\Q(t)$ с помощью простейших дробей. Тогда
$$
P \cdot s = \{ (1,\beta \cdot s) \mid \beta \not = 0, s \in S \}, \;
P_{\infty}= \bigcup_{s \in S} P \cdot s
$$
и
$$
M=\{z_{\alpha,\beta,t} \mid (\alpha,\beta) \in P_{\infty}  \}.
$$




\section{Два-порожденные группы}

Опишем структуру два-порожденных 2-ступенно нильпотентных $A$-групп; здесь
1)$A=\Q[t]$ или 2)$A=\Q(t)$. Произвольная такая группа имеет вид $G=F/N$,
где $F$ --свободная 2-ступенно нильпотентная группа с порождающими $x$ и $y$,
построенная в предыдущем параграфе, $N$ -- ${\frak M}_A$-идеал. Сохраним
здесь также обозначения второго параграфа. Обозначим через $\ll M \gg$ --
${\frak M}_A$-идеал, порожденный множеством $M$.

{\bf Лемма 3.1.}

1) Пусть $N$ -- произвольная $A$-подгруппа, содержащаяся в $C \times D$ и
$N \bigcap C = 1$. Тогда $\ll N \gg_A = N$.

2) $\ll C \gg_A = C \times D$.

$\Box$
1) Пусть $N$ -- произвольная $A$-подгруппа и $N \subseteq D$. Тогда
$N \bigcap C = 1$. Отметим, что $C=G'$ -- обычному коммутанту группы и,
что $\alpha$-коммутант $G$ равен $C \times D$.

Докажем, что в этом случае $N$ является ${\frak M}_A$-идеалом. Так как $N$
-- нормальная подгруппа, то для этого достаточно доказать истинность
импликации $[g,h] \in N \ \Rightarrow \ (g,h)_{\alpha} \in N$ для
всех $\alpha \in A$. Так как $N \bigcap C = 1$, то следствием посылки
является равенство $[g,h]=1$. Отсюда в силу аксиомы (4) в определении
$A$-степенной группы следует, что $(g,h)_{\alpha}=1$.

2) Так как $[g,h] \in C$ для всех $g,h \in G$, то отсюда следует, что
$(g,h)_{\alpha} \in \ll C \gg_A$ для всех $\alpha$, а потому
$\ll C \gg_A = C \times D$.
$\Box$

{\bf Следствие 3.2.}
Существуют два-порожденные 2-ступенно нильпотентные не конечно определенные
$A$-группы.

$\Box$
Для построения такой группы достаточно выбрать не конечно порожденный подмодуль
$N$ в модуле $D$. По лемме 3.1. $\ll N \gg_A = N$ и группа $G/N$ не
конечно определена.

Разберем теперь подробно случай, когда $A=\Q(t)$. Пусть $G=F/N$. Так как
$A$-поле, то выполнена одна из двух возможностей:

1) $N \supset C$

2) $N \subset C \times D, \  N \bigcap C =1$.

В первом случае по лемме 3.1. $N \supset \ll C \gg _A = C \times D$
и группа $G$ -- абелева $A$-группа, т.е. векторное пространство над $A$.
Существуют три таких пространства размерности 0, 1, 2 и потому с 1) связаны три
абелевы $A$-группы.

Во втором случае $N$ -- любое подпространство из $C \times D$,
$N \bigcap C = 1$, и таких групп бесконечно много.

В случае, когда $A=\Q[t]$ cтруктура 2-порожденных 2-ступенно нильпотентных
$A$-групп более сложна. В этом случае к возможностям 1) и 2) добавляется еще
одна:

3) $N \bigcap C = C^I$, где $I$ -- нетривиальный идеал кольца $\Q[t]$. Так
как кольцо $\Q[t]$ является кольцом главных идеалов, то в этом случае $I$
порождается некоторым многочленом $f(t)$: $I=<f(t),\  deg\ f(t) \geq 1>$.

Первые две возможности рассматриваются также как и выше, только в случае
1) абелевых $A$-групп больше чем три. Это будут 2-порожденные $A$-модули,
которые легко могут быть классифицированы (см.теорию конечно порожденных
модулей над кольцами главных идеалов).

Разберем случай 3).

Обозначим через $N_0=N \bigcap C \times D$  и выясним структуру
${\frak M}_A$-идеала $N_0$. Ясно, что $N_0 \bigcap C = C^I$ и
$I=<f(t) \mid deg \  f(t) \geq 1 >$. Обозначим через
$M_0=\{ z_{\alpha, \beta, \varepsilon} \mid \alpha \beta \in I \}$
и через $N_1= \ll M_0 \gg_A$. Непосредственная проверка показывает, что
$N_1$ как $A$-модуль порождается множеством $M_0$, т.е. $N_1=<M_0>_A$.

Группы вида $G_1=F/N_1$  мы будем называть приведенными по модулю идеала.
Ясно, что группа $G$ есть фактор-группа $G_1$  по центральной подгруппе,
пересечение которой с коммутантом группы $G_1$ равно единице. Поэтому
задача описания групп в случае 3) сводится к двум подзадачам: 1) найти
базис центра группы $G_1$; 2) факторизация $G_1$ по центральной
подгруппе, пересечение которой с коммутантом $G_1$ равно единице.

Задачу 1) можно решить ( мы не будем этого делать) с помощью аддитивного
базиса кольца $\Q[t]/I$.


\section{Алгоритмические проблемы}

{\bf Постановка проблем.}
Алгоритмические проблемы для $A$-сте\-пен\-ных групп естественно расматривать
в сигнатуре
$$
\sigma = < \cdot, ^{-1}, 1, f_{\alpha} \mid \alpha \in A >,
$$
где $f_{\alpha}$ унарная операция возведения в степень $\alpha$, т.е.
$$
f_{\alpha}(g)=g^{\alpha}.
$$
Будем предполагать, что способ задания $A$-групп -- с помощью
порождающих элементов и определяющих соотношений, и $A=\Q[t]$ или
$A=\Q(t)$.
%$
%A=\left \{ \begin {array} {ll}
%	     \Q[t] \\
%	     \Q(t)
%	    \end {array}
%   \right.
%$
В этой статье нас будут интересовать следующие четыре классических
алгоритмических проблемы:

a) проблема равенства термов ($\alpha$-слов);

b) проблема сопряженности;

c) проблема степеней, т.е. выяснение вопроса для пары элементов $g$, $h$ из
$G$ -- существует или нет такое $\alpha \in A$, что $g=h^{\alpha}$?

d) проблема линейной зависимости для $\alpha$-коммутаторов, т.е.
элементов вида $z_{\alpha,\beta,\varepsilon}$, определенных в $\S$2.

Прежде всего решим некоторые из этих проблем для свободной 2-ступенно
нильпотентной группы $F(x,y)$ с двумя свободными порождающими $x,\ y$.
Сделаем одно замечание, связанное с тем, что мы работаем в многообразии
2-ступенно нильпотентных групп. Пусть задано любое $\alpha$-слово от
порождающих $x,\ y$. Тогда с помощью формул (5)-(12) $\S 1$
мы можем конструктивно переписать это слово в виде произведения
$\alpha$-коммутаторов веса 1,2. Затем, используя формулы $\S 2$,
переписать конструктивно и однозначно через базис
$$
S=\{x,y,[y,x],z_{\alpha, \beta, t}, (\alpha, \beta) \in P_{\infty} \},
$$
предварительно  конструктивно  определив множество
$P$.
Последнее можно сделать в случае, когда $A=\Q[t]$, например,
следующим образом. Пусть $(\alpha,\beta)$ -- произвольная пара
многочленов от $t$ и $\alpha\beta \not = 0$.
Пусть $d(t)$ -- наибольший общий делитель пары $(\alpha,\beta)$.
Тогда паре $(\alpha,\beta)$ эквивалентна пара
$(\frac{\alpha}{c_md(t)},\frac{\beta}{c_md(t)})$, где $c_m$ --
старший коэффициент наибольшего общего делителя $d(t)$. Эту пару и
выберем в качестве единственного представителя в множестве $P$
для класса эквивалентности $[(\alpha,\beta)]$.


{\bf Лемма 4.1.}
В свободной 2-ступенно нильпотентной  группе $F(x,y)$ разрешима проблема
равенства слов  и проблема линейной зависимости для
$\alpha$-коммутаторов вида $z_{\alpha,\beta,\varepsilon}$.

$\Box$
 Доказательство непосредственно следует  из конструктивности
множества $S$,  однозначности записи через $S$ и алгоритмичности
переписывания $\alpha$-терма в виде произведения элементов из $S$.
$\Box$

{\bf Лемма 4.2.}
В свободной 2-ступенно нильпотентной  группе $F(x,y)$ разрешима проблема
сопряженности.

$\Box$
Если два элемента $g=x^{\alpha_1} y^{\beta_1} z_1$ и
$р=x^{\alpha_2} y^{\beta_2} z_2$ сопряжены в $F$  с помощью элемента
$f=x^{\gamma} y^{\delta} z $, то они сопряжены и с помощью элемента
$f_0=x^{\gamma} y^{\delta}$. Имеет место равенство $g=h[h,f_0]$.
Отсюда следует, что  $\alpha_1=\alpha_2$, $\beta_1=\beta_2$
и $z_1=z_2[h,f_0]=z_2[y,x]^{\alpha_2 \delta - \beta_2 \gamma}$.
Поэтому проблема сопряженности в $F$ сводится к проблеме согласования
показателей при базисном коммутаторе $[y,x]$
и ясно, что она алгоритмически разрешима.
$\Box$


{\bf Проблема равенства и проблема сопряженности в общем случае.}

Теоремы ниже мы будем формулировать и доказывать для случая, когда
$A=\Q(t)$. Они верны и для $A=\Q[t]$, но в этом случае доказательства
более громоздки и требуют дополнительных сведений об алгоритмической природе
колец многочленов.

{\bf Теорема 4.3.}
Проблема равенства слов и проблема сопряженности разрешимы для конечно
определенных 2-порожденных 2-ступенно нильпотентных $A$-групп; $A=\Q(t)$.

$\Box$
Если $G=F/N$ и $G$ --абелева, то $G$ -- векторное пространство над $\Q(t)$
и утверждения теоремы справедливы.

Пусть $G$ -- неабелева группа. тогда по лемме 3. $N$ -- центральная подгруппа,
$N \bigcap F' =1$.  Так как $G$ конечно определена, то $N$ --
векторное пространство над $\Q(t)$ конечной размерности. Пусть
$e_1, \ldots, e_n$ -- база $N$ и пусть эти базисные элементы записаны
через элементы  $S_N=\{ s_{i_1},s_{i_2}, \ldots,s_{i_k} \}$ базиса $S$.
Как отмечено выше, эта процедура конструктивная, а потому множество $S_N$
определяется конструктивно. Пусть теперь $v(x,y)$ -- произвольное
$\alpha$-слово от $x$, $y$. Мы желаем выяснить $v(x,y)=1$ в $G$ или нет.
Для этого переписываем $v(x,y)$ в виде произведения через базис $S$.
По лемме 4.1. эта операция является конструктивной. Если $v(x,y)$
после переписывания окажется
пустым, то $v(x,y)=1$ в $F(x,y)$,  а потому $v(x,y)=1$ и в $G$. Если
в записи $v(x,y)$ есть элементы не из множества $S_N$, то ясно, что
$v(x,y) \not = 1$  в $G$. Наконец, если $v(x,y)$ расписывается через $S_N$,
то $v(x,y)=1$ в $G$ $\Leftrightarrow$ $v(x,y) \in N$.

Поэтому, окончательно, проблема равенства сведена к проблеме вхождения в
подпространство $N$ в конечно порожденном векторном пространстве $<S_N>$.
Последняя сводится к решению систем линейных уравнений над полем $\Q(t)$,
а потому конструктивна.

Так как в $G$ разрешима проблема равенства, то, как замечено при
доказательстве леммы 4.2.,
проблема сопряженности сводится к согласованию показателей для базисного
коммутатора $[y,x]$.
$\Box$

{\bf Теорема 4.4.}
Существуют 2-порожденные 2-ступенно нильпотентные $A$-группы с
неразрешимой проблемой равенства и с неразрешимой проблемой сопряженности.

$\Box$
Идея доказательства проста, так как  свободная 2-ступенно нильпотентная
группа $F(x,y)$ содержит центральную подгруппу $D$, являющуюся бесконечным
векторным пространством над полем $\Q(t)$.

Для этого определим конструктивную
взаимно однозначную нумерацию $\mu$ множества $P_{\infty}$
на множество натуральных чисел. Для произвольного подмножества $T$
натуральных чисел  определим  группу $G_T=F/N_T$, где
$N_T$  -- подпространство $D$, порожденное такими элементами
$z_{\alpha,\beta,t}$, что $(\alpha,\beta) \in P_{\infty}$ и
$\mu(\alpha,\beta) \in T$.
С помощью рассуждений, использованных при доказательстах
лемм 4.1, 4.2 и теоремы 4.3 доказывается такой факт:
проблема равенства слов
для групп $G_T$ разрешима тогда и только тогда, когда
множество $T$ рекурсивно. Аналогичное утверждение верно и для
проблемы сопряженности в группе $G_T$.
$\Box$

{\bf Проблема степеней}

{\bf Теорема 4.5.}
Проблема степеней разрешима для конечно определенных 2-порожденных 2-ступенно
нильпотентных групп, но не разрешима для конечно порожденных групп.

$\Box$
Пусть $G$ -- конечно определенная группа  и $G=F/N$. Если $G$ -- абелева, то
ясно, что в ней проблема степеней разрешима. Пусть теперь $G$ --неабелева.
Тогда $N$ --конечномерное векторное пространство с базой
$e_1, \ldots, e_n$ и множество $S_N$ как и выше. Если
$g=x^{\alpha_1} y^{\beta_1} z_1$, $h=x^{\alpha_2} y^{\beta_2} z_2$ и
$g=h^{\gamma}$, то имеют место равенства
$$
\alpha_1=\alpha_2 \gamma, \ \beta_1=\beta_2 \gamma, \
z_1=z_2 \cdot z_{\alpha_1, \beta_1, \gamma}.
$$

Если система из первых двух равенств несовместна, то элемент $g$
не является  степенью $h$. В противном случае элемент $\gamma$
определяется однозначно и нужно с помощью формул $\S 2$ расписать его
через стандартный базис пространства $D$ и решить проблему третьего
равенства в группе $G$.
По теореме 4.3. последняя решается алгоритмически.

Теперь ясно, что для группы $G_T$, определенной при доказательстве
теоремы 4.4., имеет место утверждение: проблема степеней алгоритмически
разрешима тогда и только тогда, когда $T$ -- рекурсивное множество.
$\Box$


\begin {thebibliography}{99}
\bibitem{M-R} Мясников А.Г., Ремесленников В.Н.
{\em Степенные группы I: основы теории и тензорные пополнения.
Сиб.матем.ж., 35, $N$5(1994), 1106-1118.}
\bibitem{A} Амаглобели М.Г.
{\em Степенные группы III. Многообразия групп.
Препринт N5. Новосибирск: ИМ СО РАН, 1993.}
\bibitem{X} Hall P.
{\em Nilpotent group. Canad. Math. Congress, Edmonton, 1957
(русск.перевод Холл Ф. Нильпотентные группы. Математика.
Сборник переводов.-1968.-Т.12, N1.-С.3-36.}
\end{thebibliography}

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта $N$ 96-01-01610.


\end{document}

