\documentstyle[12pt,russian,amssymb]{article}
\textwidth=15cm
\textheight=22cm
\oddsidemargin=3.5cm
\topmargin=15mm


\title{}
\date{}

\newtheorem{eq}{Предложение}[section]
\newtheorem{df}{Определение}[section]
\newtheorem{th}{Теорема}[section]
\newtheorem{lm}{Лемма}[section]
\newtheorem{co}{Следствие}[section]
\newtheorem{remark}{Замечание}[section]



\begin{document}

\thispagestyle{empty}

\Large

\begin{center}
Сибирское отделение Российской Академии Наук \\
Институт информационных технологий и прикладной математики

\bigskip  \bigskip \bigskip \bigskip
\bigskip \bigskip \bigskip \bigskip \bigskip

\LARGE
Н.Г.Гороховская, В.Н.Ремесленников.

\bigskip  \bigskip \bigskip \bigskip\bigskip  \bigskip \bigskip \bigskip
\bigskip  \bigskip \bigskip \bigskip

\Huge
О понятии "быть свободной алгеброй" в $HF$-логике

\bigskip  \bigskip \bigskip \bigskip
\bigskip  \bigskip \bigskip \bigskip
\bigskip  \bigskip \bigskip \bigskip


\Large

Препринт $N$ 23
\end{center}

\bigskip \bigskip \bigskip \bigskip \bigskip \bigskip \bigskip
\bigskip \bigskip \bigskip \bigskip \bigskip \bigskip \bigskip
 \bigskip \bigskip

Издание  \makebox[10.5cm][r] {Омск}

ОмГУ	            \makebox[10.9cm][r] {1995}

\newpage

\large

\thispagestyle{empty}

\bigskip  \bigskip \bigskip \bigskip

Н.Г.Гороховская, В.Н.Ремесленников. О понятии "быть свободной алгеброй"
в $HF$-логике: Препринт $N$ 23. Омск: Омский госуниверситет, 1995. 22 с.

\bigskip \bigskip \bigskip \bigskip \bigskip \bigskip \bigskip
\bigskip \bigskip \bigskip \bigskip \bigskip \bigskip \bigskip
\bigskip \bigskip \bigskip \bigskip \bigskip \bigskip \bigskip
\bigskip \bigskip \bigskip \bigskip \bigskip \bigskip \bigskip
\bigskip \bigskip \bigskip \bigskip

ISBN 5-230-13722-3  \makebox[8cm][r] {$\copyright$  Н.Г.Гороховская}

	            \makebox[14.4cm][r] {В.Н.Ремесленников, 1995}

\newpage


\bigskip

\bigskip


\bigskip

\bigskip


\setcounter{page}{3}

\large


Приведены примеры многообразий алгебр, для которых понятие
"быть свободной алгеброй" абсолютно в $HF$-логике, и таких, что
понятие не является абсолютным, но, тем не менее, определимо в
$HF$-логике для счетных алгебр.


\section{Определение HF-логики}

Дадим, следуя статье трех авторов \cite{BLR}, необходимые определения.

   Пусть  ${\cal A}=\langle A;\sigma \rangle $ --  алгебраическая  система
конечной сигнатуры.
Рассмотрим некоторую надстройку системы ${\cal A}$ ,  которую  будем  обозначать
$HF({\cal A})$. Для произвольного множества $М$  обозначим  через   $F(M)$
множество всех конечных подмножеств $М$. Определяем  множество
$HF(A)$ по индукции:
$$
A_0=F(A),\ A_{n+1}=F(A\cup A_n),\ HF(A)=\bigcup_{n=0}^\infty A_n.
$$
Тогда
$$
HF({\cal A})=\langle A \cup HF(A), \sigma, \in \rangle,
$$
где $\in$ -- предикат  принадлежности  на  $A \cup HF(A)$\/.  Это  обычная
алгебраическая система сигнатуры $\sigma^\ast=\sigma\cup \{\in ^{(2)}\}$,
в которой  для
определенности все предикаты из $\sigma$ на элементах из $HF(A)$ ложны,
а операции принимают  в  качестве  значения  элемент  $\emptyset\in HF(A)$.
Элементы из $A$ называются праэлементами. Считаем,  что
ни один элемент из $A\cup HF(A) $ не принадлежит никакому  элементу
из $A$. Формулы языка HF-логики (языка $L_{HF}$) сигнатуры $\sigma$ -  это
формулы  логики  первого  порядка  с  равенством   сигнатуры
$\sigma^\ast$ . Таким образом, изучать систему ${\cal A}$
 в HF-логике --  это  все
равно, что рассматривать  систему  $HF({\cal A})$ в  обычной  логике
первого порядка.
\begin{df}
Алгебраические системы ${\cal A} \; и \;{\cal B}$ называются HF-эк\-ви\-ва\-лент\-ными
(пишем
${\cal A} \equiv_{\scriptscriptstyle HF}{\cal B}$), если на них истинны
одни и те же формулы HF-логики без свободных переменных.
\end{df}
   Надстройка $HF({\cal A})$ есть на самом деле минимальное допустимое
множество с праэлементами из $A$. Поэтому для HF-логики автоматически
справедливы многие логические результаты, описанные, например, в \cite{B}.
В частности, во множестве $HF({\cal A})$ с помощью $\Sigma$-формул
интерпретируются натуральные числа ${\rm N}$ ($0\rightarrow\emptyset$\ ,\
$n+1\rightarrow n\cup\{n\}$) и все рекурсивно перечислимые отношения на
них.

     В \cite{BT} описан фрагмент языка $L_{\omega_1\omega}$ (здесь обозначается
$L_{AR}$), который эквивалентен по выразительной силе HF-логике, но
 не  требует
расширения сигнатуры и построения надстройки.
Напомним определение этого языка.
Пусть $\varphi\in L_{\omega_1 \omega} $ --  произвольная  формула.
Определим для нее понятия $\varphi\in L_{AR}$, $r(\varphi)\leq n$
(ранг $\varphi$ для натуральных $n$) и
$\nu(\varphi)$ (номер $\varphi$). \par
\begin{description}
\item[\ \ \rm а)]  Все атомарные формулы  сигнатуры  $\sigma$
логики первого порядка принадлежат $L_{AR}$; для этих $\varphi$
полагаем, что $r(\varphi)\leq n$  для
любого  $n$, и $\nu(\varphi)$ -- геделев номер.
\item[\ \ \rm б)] Пусть $\varphi$ -- одна  из  формул
$\varphi_1\&\varphi_2$, $\varphi_1\vee \varphi_2$,
$\varphi_1\rightarrow \varphi_2$, \hbox{$\varphi_1\leftrightarrow\varphi_2$},
$\neg\varphi_1$.
Предположим, что понятия $\varphi_1\in L_{AR}$, $\varphi_2\in L_{AR}$,
$\nu(\varphi_1)$ и $\nu(\varphi_2)$ известны и  для всякого $n$
известно, что означают высказывания $r(\varphi_1)\leq n$ и
$r(\varphi_2)\leq n$. Тогда: \par
$\varphi\in L_{AR}$; \par
$r(\varphi)\leq n \Longleftrightarrow r(\varphi_1)\leq n$
и $r(\varphi_2)\leq n$; \par
$\nu(\varphi)$ эффективно вычисляется по $\nu(\varphi_1)$ и
$\nu(\varphi_2)$.
\item[\ \ \rm c)] Пусть $\varphi\in L_{AR}$. Тогда
$\forall x \varphi(x) \in L_{AR}$ и
$\exists x \varphi(x) \in L_{AR}$;
$$
r(\forall x\varphi(x)) \leq\left\{
\begin{array}{ll}
n    & \mbox{если $r(\varphi) \leq n$ и $\varphi = \forall y \psi$} \\
n+1  & \mbox{если $r(\varphi) \leq n$ и $\varphi$ не начинается с
$\forall$}
\end{array} \right.
$$
$$
r(\exists x\varphi(x)) \leq\left\{
\begin{array}{ll}
n    & \mbox{если $r(\varphi) \leq n$ и $\varphi = \exists y \psi$} \\
n+1  & \mbox{если $r(\varphi) \leq n$ и $\varphi$ не начинается с
$\exists$}
\end{array} \right.
$$
\par
\item[\ \ \rm d)] $\nu(\forall x \varphi)$ и $\nu(\exists x \varphi)$
эффективно вычисляются по $\nu(x)$ и $\nu(\varphi)$. \par
Пусть $\Phi \subseteq L_{\omega_1\omega}$. Допустим, что
$\varphi\in L_{AR}$  для всех $\varphi$ из $\Phi$ и что существует такое
$r$, что $\forall \varphi \in \Phi$  $r(\varphi) \leq r$, Кроме того, пусть
существует такое $m$, что все свободные переменные каждой $\varphi
\in \Phi$ содержатся в списке $v_0, v_1, \ldots, v_m$.
Наконец допустим, что множество $X=\{\nu(\varphi)\mid \varphi\in\Phi\}$
арифметическое. Тогда:\par
$\vee\Phi\in L_{AR}$ и $\&\Phi\in L_{AR}$;\par
$r(\vee\Phi)\leq n+1$ \  (и $r(\&\Phi)\leq n+1$)
$\Longleftrightarrow$
$r(X)\leq n $ и $ \forall \varphi \in \Phi$ \hbox{$r(\varphi)\leq n$}, где
$r(X)$ есть минимальное такое $m$, что $X$ определимо в арифметике
\hbox{$\Sigma_m$-формулой};\par
номер $\nu(\vee\Phi)$ и $\nu(\&\Phi)$ эффективно вычисляется по
 $r(X)$ и минимальному $\Sigma_{r(X)}$-индексу множества $X$.
\end{description}

\begin{eq}[{\cite{BT}}]
 Справедливо следующее:
\begin{enumerate}
  \item Для любой $L_{HF}$-формулы $\varphi(x_1, \ldots, x_n)$ существует \\
$\psi(x_1, \ldots, x_n)$ в $L_{AR}$, эквивалентная ей на  праэлементах  любой
модели.
  \item Для любой $L_{AR}$-формулы $\varphi(x_1, \ldots, x_n)$ существует
ей эквивалентная $\psi(x_1, \ldots, x_n)$ в $L_{HF}$.
\end{enumerate}
\end{eq}


\section{О многообразиях универсальных алгебр}

\subsection{Определение абсолютно свободной алгебры сигнатуры $\sigma$}

Зафиксируем сигнатуру $\sigma = <f_1^{(n_1)}, \ldots,f_p^{(n_p)}>$,
где $f_i^{(n_i)}$ -- функциональный символ арности $n_i$.
Обозначим через ${\bf A}_{\sigma}$ -- класс всех алгебр этой сигнатуры.

\begin{df}
Для данной сигнатуры $\sigma$ и любого множества букв $X$
 определим понятие {\sf термов} ({\sf слов}) от букв из множества $X$.
Построение термов осуществляется индуктивно:

\begin{enumerate}
  \item любой элемент $x$ из множества $X$ является термом;
  \item если $n$ -- натуральное число, $w_1,\ldots,w_n$ -- термы и $f_i$
-- $n$-арная алгебраическая операция сигнатуры $\sigma$, то символ
$f_i(w_1,\ldots,w_n)$ также назовем термом.
\end{enumerate}

В соответствии с 2 на множестве термов определим все операции из $\sigma$.
Построенная таким образом алгебра $F_{\sigma}(X)$ называется
{\sf абсолютно свободной алгеброй с базой} $X$.
\end{df}

\begin{df}
{\sf Рангом} свободной алгебры с базой $X$ называется мощность $\mid X \mid$
множества $X$.
\end{df}

\begin{eq} [{\cite{M}}]
Пусть $\frak A$ произвольная алгебра сигнатуры $\sigma$, тогда при подходящем
выборе множества $X$ существует гомоморфизм
$\varphi: F_{\sigma}(X) \rightarrow \frak A$,
причем, если $A$ -- любое подмножество из $\frak A$, то множество $X$ может
быть выбрано так, что $\mid X \mid = \mid A \mid$,
и любое взаимно однозначное отображение между $X$ и $A$  продолжается до
гомоморфизма $\psi: F_{\sigma}(X) \rightarrow \frak A$.
\end{eq}


\subsection{Определение многообразия алгебр сигнатуры $\sigma$}

Пусть $F_{\sigma}(X)$ абсолютно свободная алгебра счетного ранга и
$X=\{x_1,x_2, \ldots,x_n, \ldots \}$.
Напомним следующее
\begin{df}[{\cite{K}}]
Пусть $s$ и $t$ -- два терма из $F_{\sigma}(X)$; говорят,  что
в алгебре $\frak A$ выполняется тождество $s=t$, если
при любом отображении $\varphi: X \rightarrow A$,
где $\varphi$ -- гомоморфизм, определенный в предложении 2.1., элементы
$s\varphi$ и $t\varphi$ из $\frak A$
равны. Если $\Omega$ -- некоторая совокупность тождеств, то класс всех
алгебр, на которых выполняются тождества из $\Omega$, называется {\sf многообразием},
заданным системой тождеств $\Omega$.

\end{df}


     В данной статье нам понадобится понятие арифметически
заданного многообразия алгебраических систем.

\begin{df}
      Пусть задано многообразие $\cal M$ алгебраических
систем конечной сигнатуры  $\sigma$,  определенное  множеством
тождеств
     $$\Omega=\{s_{\delta}=t_{\delta} \mid \delta \in \Delta \},$$
     где $s_{\delta}, \ t_{\delta}$ - термы и пусть $\nu$ -
     некоторая геделева нумерация термов сигнатуры $\sigma$.
     Будем говорить, что $\cal M$ арифметически задано (арифметическое),
     если  множество $(\nu (s_{\delta}), \nu (t_{\delta}))$
     является арифметическим.
\end{df}

\subsection{Постановка проблемы определимости}

Прежде всего дадим необходимое

\begin{df}
Понятие "быть $K$-алгеброй", где $K$  - некоторое абстрактное свойство,
будем называть абсолютно определяемым (абсолютным) в HF-логике,
если из того, что ${\frak A} \equiv _{HF} {\frak B}$
и $\frak B$ - $K$-алгебра следует, что $\frak A$ также $K$-алгебра.
\end{df}

В связи с этим возникает

{\bf Проблема.} Для каких многообразий алгебраических систем понятие "быть
свободной алгеброй" является абсолютным  в $HF$-логике?




\section{Решение проблемы определимости для некоторых  многообразий}

\subsection{Свободные алгебры конечного ранга в арифметических
многообразиях}

\begin{df}
$F_{\sigma}^{\cal M}(X)$ {\sf свободная алгебра в многообразии {\cal M}
c базой $X$}, если любое отображение $\tau: X \rightarrow \frak A$
продолжается до гомоморфизма $\rho: F_{\sigma}^{\cal M} \rightarrow \frak A$,
 ${\frak A} \in \cal M$, делающего следующую диаграмму коммутативной.


\begin{center}
\unitlength=1cm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(6,4)
\put(0.7,2.8){\makebox(0,0)[cc]{$X$}}
\put(1,2.8){\line(1,0){2}}
\put(1.85,-0.3){\makebox(0,0)[lc]{$\frak A$}}
\put(3.1,2.8){\makebox(0,0)[lc]{$F_{\sigma}^{\frak M}(X)$}}
\put(0.7,2.5){\line(1,-2){1.25}}
\put(1,1.5){\makebox(0,0)[tc]{$\tau$}}
\put(3.5,1.5){\makebox(0,0)[tc]{$\rho$}}
\put(3.5,2.2){\makebox(0,0)[cc]{/}}
\put(2.9,1.2){\makebox(0,0)[cc]{/}}
\put(2.3,0.2){\makebox(0,0)[cc]{/}}
\end{picture}
\end{center}



\end{df}

По теореме Биркгофа для любого многообразия $\cal M$ и любого множества $X$
существует свободный объект $F_{\sigma}^{\cal M}(X)$. По предложению 2.1.,
существует гомоморфизм $\varphi$
$$
\varphi: F_{\sigma}(X) \rightarrow F_{\sigma}^{\cal M}(X),
$$
такой, что ограничение на $X$ есть тождественное отображение.

Этот гомоморфизм определяет отношение эквивалентности $\sim$ на
элементах $F_{\sigma}(X)$ относительно данного многообразия алгебр $\cal M$.

Если $\cal M$ -- арифметическое многообразие алгебр, то существует
формула HF-логики, выделяющая алгебры данного многообразия.
$$
V_{\cal M} = \bigwedge_{(\nu(s_{\delta}), \nu(t_{\delta}))}
\forall a_1, \ldots, a_{n_{\delta}} \;
s_{\delta} (a_1, \ldots, a_{n_{\delta}}) =
t_{\delta} (a_1, \ldots, a_{n_{\delta}})
$$
Так как множество номеров $(\nu(s_{\delta}), \nu(t_{\delta}))$ арифметическое
по определению, то это формула HF-логики. Ее ранг равен двум.

\begin{df}
Будем говорить, что проблема равенства слов  в алгебре $\frak A$ относительно
порождающего множества $X=\{x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots\}$
имеет арифметический тип, если множество пар
\begin{eqnarray}
S=\{s(x_{i_1},x_{i_2}, \ldots,x_{i_k}),t(y_{i_1},y_{i_2}, \ldots,y_{i_l})
\nonumber \\
\mid x_{i_{\alpha}},y_{i_{\beta}} \in X, \; s,t - \mbox{термы} \}
\end{eqnarray}
таких, что
$s(x_{i_1},x_{i_2}, \ldots,x_{i_k})=t(y_{i_1},y_{i_2}, \ldots,y_{i_l})$
в ${\frak A}$
является арифметическим множеством при некоторой геделевой нумерации термов.
\end{df}

\begin{lm}
 Пусть $\cal M$ арифметически заданное многообразие
и $F_{\sigma}^{\cal M}(X)$ -- свободная алгебра счетного ранга.
Тогда проблема равенства слов в алгебре $F_{\sigma}^{\cal M}(X)$
имеет арифметический тип.
\end{lm}

$\Box$
Формальное доказательство леммы длинное и рутинное. Поэтому здесь мы
приведем лишь набросок доказательства.

Из теории алгебраических систем \cite{M} следует, что
алгебра $F_{\sigma}^{\cal M}(X)$
допускает следующую запись в виде порождающих и соотношений.
\begin{eqnarray}
F_{\sigma}^{\cal M}(X) & = &  <X \mid s_{\delta}(a_1, \ldots, a_k)=
t_{\delta}(a_1, \ldots, a_k) \nonumber \\ &   &
\mbox{для всех} \; \delta \in \Delta, \;
a_1, \ldots, a_k \in F_{\sigma} >
\end{eqnarray}
Так как исходное множество $\Delta$ арифметическое, а множество всех
соотношений рекурсивно перечислимо относительно $\Delta$, то
множество всех соотношений $S$ также является арифметическим множеством
(см.\cite{R}).

Существует рекурсивно перечислимая процедура вывода всех следствий
относительно множества всех соотношений для алгебры, заданной порождающими и
соотношениями. Отсюда, как и выше, следует, что множество пар (1) является
арифметическим.
$\Box$

Следующая формула определяет эквивалентность $\sim$ термов для алгебры
$F_{\sigma}(X)$ относительно многообразия $\cal M$.
\begin{eqnarray}
\varphi (u,v) = \bigvee_{(t_1,t_2) \in S} u=t_1(x_1, \ldots, x_k) \&
v=t_2(x_1, \ldots, x_k)
\end{eqnarray}
Так как по лемме 3.1. множество $S$ арифметическое, то эта формула
является формулой $HF$-логики.

\begin{th}
Понятия "быть свободной алгеброй конечного ранга ранга $k$" и
"быть свободной алгеброй конечного ранга" для арифметического
многообразия $\cal M$ являются абсолютно определимыми в $HF$-логике.
\end{th}

$\Box$
Покажем сначала, что эти понятия выразимы в $HF$-логике.

Пусть $\frak A$ -- свободная алгебра конечного ранга в арифметическом
многообразии $\cal M$. Понятие "быть свободной алгеброй ранга
$k, \; k \in \bf N$" формульно. Действительно, пусть $Gen(x_1, \ldots, x_k)$
-- формула, утвердающая, что $x_1, \ldots, x_k$ -- система порождающих
для $\frak A$.
$$
Gen(x_1, \ldots, x_k) = \forall y \; \bigvee_{w \in F_{\sigma}(X)}
y = w_i (x_1, \ldots, x_k)
$$
Ясно, что формула
\begin{eqnarray*}
Fr(k) & = & \bigvee_{l=1}^{k-1}
           \exists \; x_1, \ldots, x_l \; (Gen(x_1, \ldots, x_l)
           \& (\forall y \forall z \;  \\
      &   & (\bigvee_{(t_1,t_2) \in F_{\sigma}(X)} (y=t_1(x_1, \ldots, x_l) \&
            z=t_2(x_1, \ldots, x_l) \& y=z) \\
      &   & \Rightarrow \varphi (y,z)))),
\end{eqnarray*}
где $\varphi(y,z)$ -- формула (3) относительно многообразия $\cal M$.
выделяет свободные алгебры с числом порождающих меньшим, чем $k$. Тогда
формула
\begin{eqnarray}
Fr_1(k)= Fr(k+1)\&(\&_{l=2}^k \neg Fr(l))
\end{eqnarray}
выделяет свободные алгебры ранга $k$.

Ранг формулы $Fr(k)$ не зависит от $k$, поэтому мы можем выделить весь
класс свободных алгебр конечного ранга в арифметическом многообразии
формулой:
$$
Fr(\omega) = \bigvee_{k \in {\bf N}} Fr_1(k)
$$

Пусть теперь ${\frak C} \equiv_{HF} F_{\sigma}^{\cal M}(X)$ и
$\mid X \mid = k$ для некоторого
конечного числа $k$. Тогда формула (3) справедлива и для $\frak C$, а
потому ${\frak C}$  изоморфна $F_{\sigma}^{\cal M}(X)$.
$\Box$



\subsection{Примеры многообразий, где понятие "быть свободной
алгеброй" абсолютно в HF-логике}

\begin{df}
     Будем говорить, что свободная алгебра сигнатуры
$\sigma$ обладает свойством $(*)$, если ни один базисный элемент этой
алгебры не является значением нетривиального терма сигнатуры $\sigma$.
\end{df}

Напомним, что тривиальные термы -- это буквы из множества $X$.
Мы также предполагаем, что среди операций в $\sigma$ нет тривиальных
$f_i^{(1)}(x)=x$

Элементы свободной алгебры, не являющиеся значениями никаких тривиальных
термов, выделяются формулой
$$
Bas_1(x) = \bigvee_{f_i^{(n_i)}} \forall y_1, \ldots, y_{n_i}
(x \neq f_i^{(n_i)} (y_1, \ldots, y_{n_i})
$$

\begin{eq}
Если свободная алгебра $\frak A$ конечной сигнатуры $\sigma$ обладает
свойством $(*)$, то существует единственный базис этой алгебры,
выделяемый формулой
\begin{eqnarray}
Bas(x)  & = & Bas_1(x) \bigwedge (\forall y \in {\frak A} \nonumber \\
        &   & \bigvee _{t \in F_{\sigma}} \exists
z_1, \ldots, z_k (\bigwedge_{i=1}^k Bas_1(z_i) \bigwedge y=t(z_1, \ldots, z_k)))
\end{eqnarray}
\end{eq}

$ \Box$
Докажем единственность. Пусть $X$ - данный базис. Допустим противное
и пусть $X_1$ - другой базис алгебры $\frak A$. Следовательно, существует
$x \in X \backslash X_1$. Так как $X_1$ - базис, то существует терм
$t$ и элементы $y_1, \ldots, y_k$ такие, что $x=t(y_1, \ldots, y_k)$
и терм $t$ нетривиален. Это противоречит условию $(*)$.

Докажем, что $Bas(X)$ выделяет $X$. Пусть $x \in X$, тогда $x$
удовлетворяет формуле (5). Если это не так, то существуют $f_i^{(n_i)}$
и $y_1, \ldots, y_{n_i}$, такие что
$f_i^{(n_i)} (y_1, \ldots, y_{n_i})=x$, и это противоречит условию $(*)$.

Наоборот, пусть $y$ такой, что формула (5) на нем выполняется. Если
$y \notin X$, то существует терм $t$ и элементы $y_1, \ldots, y_k$
такие, что $y=t(y_1, \ldots, y_k)$. По определению терма  существует
функциональный знак $f_i^{(n_i)}$ такой, что
$t=f_i^{(n_i)} (z_1, \ldots, z_{n_i})$, где $z_1, \ldots, z_{n_i}$ - термы
более простой природы от базы $X$.
Тогда
$$
y=f_i^{(n_i)} (z_1, \ldots, z_{n_i}),
$$
а это противоречит условию, что $y \in Bas_1$.
$ \Box$


\begin{th}
     Пусть многообразие $\cal M$ арифметически задано и
обладает свойством $(*)$. Тогда свойство "быть свободной алгеброй в
данном многообразии" является абсолютным в HF-логике.
\end{th}

$ \Box$
Пусть $F$ - свободная алгебра сигнатуры $\sigma$ с базой $X$ и свойством
$(*)$.  Пусть $\frak A$ - алгебра сигнатуры  $\sigma$ и
${\frak A} \equiv_{HF} F$. Докажем, что $\frak A$ свободная алгебра с
некоторой базой $Y$. Так как формула (5) выполняется на $F$, то она выполняется на
$\frak A$, и пусть $Y$ множество истинности формулы $Bas$ на $\frak A$.
Из вида формулы (5) следует, что $Y$ - множество всех порождающих
алгебры $\frak A$. Осталось доказать, что это свободная алгебра с базой
$Y$. Последнее непосредственно следует из вида и смысла формулы (3).
$ \Box$


\begin{co}
     Понятие "быть свободной алгеброй" абсолютно для
следующих многообразий:

	1. многообразие всех полугрупп (коммутативных полугрупп),

	2. многобразие всех колец (ассоциативных, коммутативных).
\end{co}


Многообразия, отмеченные в пункте 1 следствия, обладают свойством $(*)$
и задаются конечным множеством тождеств, поэтому результат следует
непосредственно из теоремы 3.2.  Что касается многообразий из пункта 2,
то они арифметически определены, но формально они не удовлетворяют $(*)$
по следующей причине.

Пусть $F$ - свободное кольцо с базой $X=\{x_1, \ldots, x_n, \ldots \}$,
тогда
$$
x_i = -(-x_i)
$$
- значение нетривиального терма. Но в этом случае не сложно
переделать определение свойства $(*)$ и переписать формулы (3) и (5)
так, чтобы соответствующий аналог теоремы 3.2. был также истинен
в соответствующих многообразиях алгебр.


Укажем пример многообразий, свободные алгебры которых не обладают
свойством $(*)$, но тем не менее для них свойство "быть свободной
алгеброй данного многообразия" является абсолютным.

\begin{th}
Пусть многообразие $\cal M$ арифметически задано и существует
формула $HF$-логики, выделяющая для любой свободной алгебры этого
многообразия базу этой алгебры, тогда свойство "быть свободной
алгеброй многообразия $\cal M$" является абсолютным в $HF$-логике.
\end{th}

$\Box$  Доказательство непосредственно следует из
доказательства теоремы 3.2. $\Box$

\begin{co}
Понятие "быть свободной алгеброй" абсолютно для многообразия булевых алгебр.
\end{co}

Действительно, базой свободной булевой алгебры служит множество всех ненулевых атомов
этой алгебры. Последнее множество является формульным даже в языке
логики первого порядка и тем более в $HF$-логике.






\subsection{Пример многообразия, где понятие "быть свободной алгеброй"
счетно определимо в $HF$-логике}

\begin{df}
Понятие "быть $K$-алгеброй", где $K$  - некоторое абстрактное свойство,
будем называть счетно определимым  в HF-логике,
если из того, что ${\frak A} \equiv _{HF} {\frak B}$
и $\frak A$ счетная алгебра, а
$\frak B$ - $K$-алгебра, следует, что $\frak A$ также $K$-алгебра.
\end{df}

В этом пункте в качестве свойства К будет выступать понятие
"быть свободной алгеброй".

\begin{th}
Свойство "быть свободной абелевой группой"  \\ счетно определимо в $HF$-логике.
\end{th}

Прежде чем доказывать теорему, приведем некоторые определения и результаты,
которые можно найти в \cite{F}. Как обычно  для категории абелевых групп,
групповую операцию будем записывать аддитивно. Ключом к доказательству теоремы
служит следующий критерий Понтрягина о свободе счетных абелевых групп.

{\bf Критерий.} Счетная абелева группа без кручения является свободной
тогда и только тогда, когда каждая ее подгруппа конечного ранга свободна.

Пусть $A$ - абелева группа без кручения. Обозначим через
$B=<a_1, \ldots, a_s>$ -- подгруппу, порожденную в $A$ системой элементов
$a_1, \ldots, a_s$ и через
$$
Is \;B = Is<a_1, \ldots, a_s> = \{a \in A \mid \exists n \in {\bf N} \;
na \in B \}
$$
-- изолятор подгруппы $B$.
Выпишем формулу $HF$-логики, которая выделяет изолятор конечной системы
элементов.
\begin{eqnarray}
Iss(x;a_1, \ldots, a_s) = \bigvee_{n \in {\bf N}}
\exists y  \; Subgr(y;a_1, \ldots, a_s) \; y=nx
\end{eqnarray}
Здесь
$$
Subgr(y;z_1, \ldots, z_s) = \bigvee_{(n_1, \ldots, n_s)}
y=n_1z_1+ \ldots + n_s z_s
$$
- формула, выделяюшая подгруппу, порожденную $s$ элементами.
Вернемся к доказательству теоремы.

$\Box$
Пусть $A$ - счетная абелева группа.  Тогда все подгруппы конечного ранга
выделяются формулой (6). Докажем формульность в $HF$-логике утверждения, что
все изоляторы являются свободными подгруппами.
Прежде всего заметим, что если изолятор является свободной
абелевой группой, то ранг этой свободной абелевой группы не больше $s$,
так как мощность максимального линейно независимого множества в этой
подгруппе не больше, чем $s$. Требуемая формула имеет вид
\begin{eqnarray}
FrSub & = &  \forall y_1, \ldots, y_s \in A \; \forall x \;
            Iss(x;y_1, \ldots, y_s) \; \nonumber \\
      &   & \exists z_1, \ldots, z_s \; Subgr(x;z_1, \ldots, z_s)
\end{eqnarray}
Действительно, из этой формулы следует, что изолятор является конечно
порожденной подгруппой  в абелевой группе без кручения. Следовательно,
он является свободной абелевой группой.

Пусть теперь $A \equiv_{HF} B$, $A$ -- счетная группа, $B$ -- свободная
абелева группа. Ясно, что $A$ -- группа без кручения. Так как формула (7)
верна для $B$, то она верна и в группе $A$. А потому по критерию Понтрягина
группа $A$ является свободной абелевой группой. Теорема доказана.
$\Box$


\subsection{Свойство "быть свободной абелевой группой" не является
абсолютным в $HF$-логике}

Приведем пример, показывающий, что понятие "быть свободной абелевой группой"
не является абсолютно определимым в $HF$-логике.


Пусть $F$ -- свободная абелева группа бесконечного ранга,
$H$ -- декартова сумма бесконечного множества копий бесконечно
циклической группы. Тогда любая счетная подгруппа $H$ является свободной
группой, но сама группа $H$ не является  свободной абелевой группой
(см. \cite[стр.113]{F}). Тем не менее, $H$ и $F$ эквивалентны в
$HF$-логике. Для доказательства этого факта покажем с помощью
признака эквивалентности двух моделей в логике $L_{\omega_1 \omega}$,
что $H$ и $F$ эквивалентны в этой логике
и, следовательно, эквивалентны в $HF$-логике, так как последняя является
фрагментом $L_{\omega_1,\omega}$.

Напомним

{\bf Признак эквивалентности двух моделей в логике $L_{\omega_1 \omega}$.} (\cite{Ks})

Пусть ${\frak A}=\{A,\sigma\}$ и ${\frak B}=\{B,\sigma\}$ -- модели логики
первого порядка $L$.
Предположим, что для каждого $n < \omega$ существует отношение $\sim$
между $A^n$ и $B^n$  такое, что
\begin{enumerate}
  \item Если $(a_1 \ldots a_n) \sim (b_1 \ldots b_n)$, то  $(a_1 \ldots a_n)$
	удовлетворяет в точности тем же  атомным формулам в $\frak A$,
	что и  $(b_1 \ldots b_n)$  в $\frak B$.
  \item Если $(a_1 \ldots a_n) \sim (b_1 \ldots b_n)$, то
	$$
         (\forall a_{n+1} \in A)(\exists b_{n+1} \in B) \;
         (a_1 \ldots a_{n+1}) \sim (b_1 \ldots b_{n+1}).
	$$
  \item Если $(a_1 \ldots a_n) \sim (b_1 \ldots b_n)$, то
	$$
         (\forall b_{n+1} \in B)(\exists a_{n+1} \in A) \;
         (a_1 \ldots a_{n+1}) \sim (b_1 \ldots b_{n+1}).
	$$
\end{enumerate}
Тогда ${\frak A} \equiv_{L_{\omega_1 \omega}} {\frak B}$.



\begin{lm}
Пусть $A, \; B$ -- абелевы группы без кручения. Тогда
$(a_1 \ldots a_n) \sim (b_1 \ldots b_n)$ (см. пункт 1 признака
эквивалентности) тогда и только тогда, когда
  \begin{enumerate}
    \item $\alpha_1 a_1 + \ldots +\alpha_n a_n=0 \Longleftrightarrow
           \alpha_1 b_1 + \ldots +\alpha_n b_n=0$
    \item уравнение от одной свободной переменной
	  $mx=\alpha_1 a_1 + \ldots +\alpha_n a_n$ разрешимо  в $A$
	  $\Longleftrightarrow$
	  $mx=\alpha_1 b_1 + \ldots +\alpha_n b_n$ разрешимо в $B$,
  \end{enumerate}
$(a_1 \ldots a_n) \in A$, $(b_1 \ldots b_n) \in B$, $m \in \bf N$,
$\alpha_i \in \bf Z$.
\end{lm}

$\Box$
По признаку эквивалентности моделей в логике $L_{\omega_1 \omega}$ кортежи
$(a_1 \ldots a_n) \sim (b_1 \ldots b_n)$ тогда и только тогда, когда на них
истинны одни и те же атомные формулы. Напомним, что атомная формула сигнатуры
$\sigma$ -- это выражение одного из следующих двух видов:
$$
t_1=t_2, \; R(t_1, \ldots, t_2),
$$
где $t_i$ -- термы  сигнатуры $\sigma$, а $R \in \sigma$ -- произвольный
$n$-местный предикатный символ. В  групповой сигнатуре $\{+,0\}$ нет
предикатных символов, поэтому атомными формулами в данном случае
являются лишь утверждения о равенстве термов.

Следовательно, утверждение леммы в одну сторону очевидно. Если
$(a_1 \ldots a_n) \sim (b_1 \ldots b_n)$, то пункты 1, 2 леммы выполняются.

В обратную сторону. Если атомная формула зависит от переменных
$x_1, \ldots, x_n$, то в силу п.1 формулы выполняются или не выполняются
одновременно. Если переменных больше, чем $n$, то они одновременно
выполняются на кортежах в силу п.2.
$\Box$

\begin{co}
Пусть $A$  и $B$ -- абелевы группы без кручения, $A_1$ и $B_1$ -- сервантные
подгруппы групп  $A$  и $B$ соответственно. Тогда для любых двух наборов
элементов $(a_1 \ldots a_n) \in A_1, \; (b_1 \ldots b_n) \in B_1$

$(a_1 \ldots a_n) \sim (b_1 \ldots b_n)$ относительно групп $A$  и $B$
$\Longleftrightarrow$

$(a_1 \ldots a_n) \sim (b_1 \ldots b_n)$ относительно подгрупп $A_1$  и $B_1$
\end{co}

$\Box$
Напомним, что подгруппа $A_1$ группы $A$ называется {\sl сервантной},
если уравнение $nx=a \in A_1$, имеющее решение во всей группе $A$,
имеет решение и в $A_1$. Таким образом, доказательство следствия
непосредственно следует из леммы 3.2.
$\Box$

\begin{lm}
Пусть $F$ -- свободная абелева группа.
$(a_1 \ldots a_n), \\ (b_1 \ldots b_n) \in F$. Тогда
$(a_1 \ldots a_n) \sim (b_1 \ldots b_n)$ $\Longleftrightarrow$
существует автоморфизм $\varphi$  группы $F$ такой, что
$$
a_i^{\varphi}=b_i, \; i=1, \ldots, n.
$$
\end{lm}

$\Box$
В одну сторону утверждение леммы очевидно. Если существует автоморфизм,
переводящий один кортеж элементов в другой, то на этих кортежах
выполняются одни и те же формулы. Следовательно,
$$
(a_1 \ldots a_n) \sim (b_1 \ldots b_n)
$$

Обратно. Проведем доказательство индукцией по $n$. Пусть  $(a_1) \sim (b_1)$.
Элемент группы будем называть {\sl примитивным}, если он не делится ни на какое
натуральное число.  В свободной абелевой группе
любой примитивный элемент можно включить в базу (см. \cite{F}).
Таким образом, имеем два случая:
\begin{enumerate}
   \item $a_1$ -- примитивный элемент. Тогда существует база группы $F$,
	 включающая в себя элемент $a_1$. Тогда $b_1$ -- также примитивный
         элемент. Следовательно, существует автоморфизм $\varphi$ такой, что
$$
a_1^{\varphi}=b_1.
$$
   \item  $a_1=ma_1'$, где $a_1'$ -- примитивный элемент. Тогда по лемме 3.2.
	 это же верно и для $b_1$: $b_1=mb_1'$, где $b_i'$ -- примитивный
         элемент. Следовательно, как и в
	 рассмотренном выше случае, существует автоморфизм $\varphi$
         группы $F$ такой, что
$$
a_1^{\varphi}=b_1.
$$
\end{enumerate}

Предположим, что утверждение верно для $n$. Докажем его для $n+1$.
Итак, пусть даны два набора
$(a_1 \ldots a_n, a_{n+1}), (b_1 \ldots b_n, b_{n+1}) \in F$ и
$(a_1 \ldots a_n, a_{n+1}) \sim (b_1 \ldots b_n, b_{n+1})$.
Покажем, что усеченные наборы $(a_1 \ldots a_n)$ и $(b_1 \ldots b_n)$
также эквивалентны. Действительно,
\begin{enumerate}
  \item если
        $\alpha_1 a_1 + \ldots +\alpha_n a_n+\alpha_{n+1} a_{n+1}=0
         \Longleftrightarrow
         \alpha_1 b_1 + \ldots +\alpha_n b_n+\alpha_{n+1} b_{n+1}=0$,
	то, положив $\alpha_{n+1}=0$, получаем
           $\alpha_1 a_1 + \ldots +\alpha_n a_n=0 \Longleftrightarrow
           \alpha_1 b_1 + \ldots +\alpha_n b_n=0$.
	  Таким образом, пункт 1 леммы 3.2. выполняется;
   \item рассмотрим формулу
	 $mx=\alpha_1 y_1 + \ldots +\alpha_n y_n+\alpha_{n+1} y_{n+1}$.
	 Перенесем слагаемое $\alpha_{n+1} y_{n+1}$ в левую часть
	 $mx-\alpha_{n+1} y_{n+1}=\alpha_1 y_1 + \ldots +\alpha_n y_n$.
	 Пусть $m=km', \; \alpha_{n+1}=k \alpha_{n+1}'$.
	 Тогда
	 $mx-\alpha_{n+1} y_{n+1}=k(m'- \alpha_{n+1}')=kx_1$.
	 Получили уравнение
	 $kx_1=\alpha_1 y_1 + \ldots +\alpha_n y_n$.
	 Таким образом, уравнение от одной свободной переменной
	  $mx_1=\alpha_1 a_1 + \ldots +\alpha_n a_n$ разрешимо
	  $\Longleftrightarrow$
	  $mx_1=\alpha_1 b_1 + \ldots +\alpha_n b_n$ разрешимо
	 и пункт 2 леммы 3.2. также выполняется.
\end{enumerate}

Так как усеченные наборы $(a_1 \ldots a_n)$ и $(b_1 \ldots b_n)$
эквивалентны, то существует автоморфизм $\varphi \in Aut \; F$,
такой, что
$$
a_i^{\varphi}=b_i, \; i=1, \ldots, n.
$$
Обозначим  $A=<a_1, \ldots, a_n>, \; B=<b_1, \ldots, b_n>$ и пусть
$\overline{A}, \; \overline{B}$ -- изоляторы подгрупп  $A$  и $B$
соответственно. Рассмотрим два случая:

\begin{enumerate}
    \item $a_{n+1} \in \overline{A}$. Тогда существует запись
     $$a_{n+1}=r_1 a_1 + \ldots r_n a_n, \; r_1, \ldots, r_n \in \bf Q.$$
     Так как наборы
     $(a_1 \ldots a_n, a_{n+1}), \; (b_1 \ldots b_n, b_{n+1})$
     эквивалентны, то
     $b_{n+1}=r_1 b_1 + \ldots r_n b_n$ и
     $$a_{n+1}^{\varphi}=r_1 a_1^{\varphi} + \ldots r_n a_n^{\varphi}=
      r_1 b_1 + \ldots r_n b_n=b_{n+1}.$$
    \item $a_{n+1} \notin \overline{A}$. Тогда пусть
      $$
      A_1=<\overline{A}, a_{n+1}>.
      $$
      Рассмотрим изолятор $\overline{A_1}$ группы $A_1$. Из
      теории свободных абелевых групп следует, что
      $$
      \overline{A_1} = \overline{A} \oplus <c>,
      $$
      причем $c$ -- примитивный элемент.
      Тогда  $a_{n+1}=a_0+mc$. Уравнение $a_{n+1}-a_0=mc$ разрешимо.
      Следовательно, уравнение $b_{n+1}-b_0=md$ также разрешимо, причем
      $d$ -- примитивный элемент. Пусть $\overline{B_1}=<B_1,d>$.
      Построим изоморфизм
      $\psi:\overline{A_1} \rightarrow \overline{B_1}$ такой, что
      $$ \psi \mid_{\overline{A}} = \varphi, \; c^{\psi}=d $$
      и расширим его до изоморфизма $\chi$ между $A$ и $B$.
      Из теории свободных абелевых групп следует, что такое
      расширение возможно. Теперь
      $$
      a_{n+1}^{\chi}=a_0+mc=a_0^{\varphi}+md=b_{n+1}.
      $$
\end{enumerate}
$\Box$

\begin{lm}
Пусть $F$ -- свободная абелева группа. Тогда условия признака
эквивалентности в логике $L_{\omega_1 \omega}$ выполнены для $F$
($A=B=F$).
\end{lm}

$\Box$
Утверждение леммы следует из леммы 3.3. Действительно,
пусть $(a_1 \ldots a_n) \sim (b_1 \ldots b_n)$. Тогда существует
автоморфизм $\varphi$ группы $F$ такой, что
$$
a_i^{\varphi}=b_i, \; i=1, \ldots, n.
$$
Пусть $a_{n+1}$ -- произвольный элемент группы $F$. Нужно показать,
что существует такой элемент $b_{n+1}$, что
$(a_1 \ldots a_n, a_{n+1}) \sim (b_1 \ldots b_n, b_{n+1})$.
Но в качестве $b_{n+1}$ достаточно взять $a_{n+1}^{\varphi}$. Таким образом
кортеж $(a_1 \ldots a_n, a_{n+1})$ переводится автоморфизмом в
кортеж $(b_1 \ldots b_n, b_{n+1})$. На них выполняются одни и те же формулы
и потому $(a_1 \ldots a_n, a_{n+1}) \sim (b_1 \ldots b_n, b_{n+1})$.
$\Box$



\begin{th}
Пусть $H$ -- декартова сумма бесконечного множества копий бесконечной
циклической группы. $F$ -- свободная абелева группа счетного ранга. Тогда
$H$ и $F$ эквивалентны  в логике $L_{\omega_1 \omega}$ и, следовательно,
в $HF$-логике.
\end{th}

$\Box$
Пусть $(a_1, \ldots, a_n) \in F$, $(b_1, \ldots, b_n) \in H$ и
$(a_1 \ldots a_n) \sim (b_1 \ldots b_n)$.
Пусть $a_{n+1}$ -- произвольный элемент из $F$. Докажем, что
существует элемент $b_{n+1}$ такой, что
$(a_1 \ldots a_n, a_{n+1}) \sim (b_1 \ldots b_n, b_{n+1})$.
Пусть  $A=<a_1, \ldots, a_n> \in F, \; B=<b_1, \ldots, b_n> \in H$ и
$\overline{A}, \; \overline{B}$ -- изоляторы подгрупп  $A$  и $B$
соответственно. Возникает два случая:

\begin{enumerate}
    \item $a_{n+1} \in \overline{A}$. Тогда по лемме 3.2. существуют
       $r_1, \ldots, r_n \in \bf Q$ такие, что
       $a_{n+1}=r_1 a_1 + \ldots +r_n a_n$
       Так как кортежи
       $(a_1 \ldots a_n), \; (b_1 \ldots b_n)$
       эквивалентны, то
       $b_{n+1}=r_1 b_1 + \ldots +r_n b_n$ и
       $b_{n+1}$ -- искомый элемент.
     \item $a_{n+1} \notin \overline{A}$.
      Пусть $rank \; A = rank \; \overline{A} = r$.
      Рассмотрим подгруппу
      $$
      A_1=<\overline{A},a_{n+1}>=\overline{A} \oplus <a_{n+1}>.
      $$
      Тогда ранг $A_1$ равен $r+1$. Обозначим через  $\overline{A_1}$
      изолятор подгруппы $A_1$
      $$
      \overline{A_1}=\overline{A} \oplus <a_{n+1}'>,
      $$  и пусть
      $$
      a_{n+1}=a_0 + m a_{n+1}'
      $$
      Так как $H$ -- локально свободная группа, то  $\overline{B}$
      является свободной группой. $rank \; B = rank \; \overline{B} = r$.
      Выберем элемент $c \notin \overline{B}$ (такой существует, так как
      $H$ не является группой конечного ранга). Рассмотрим подгруппу
      $B_1=<\overline{B},c>$, $rank \; B_1 = r+1$, и ее изолятор
      $\overline{B_1}$, $rank \; \overline{B_1} = r+1$.
      $\overline{B}$  -- сервантная подгруппа $\overline{B_1}$.
      $$
      B_1 = \overline{B} \oplus  <d>
      $$
      Выберем $b_{n+1}=b_0 + md$, где если
      $a_0=r_1 a_1+ \ldots r_n a_n$, то $b_0=r_1 b_1+ \ldots r_n b_n$.
      С помощью леммы 3.2. и следствия 3.3. проверяется, что
      расширенный кортеж из первой группы
      эквивалентен расширенному кортежу из второй группы.
\end{enumerate}

Наоборот, если к кортежу $(b_1 \ldots b_n)$ добавляется элемент $b_{n+1}$,
то элемент $a_{n+1}$ из $A$ такой, что
$(a_1 \ldots a_n, a_{n+1}) \sim (b_1 \ldots b_n, b_{n+1})$
ищется в группе $F$ таким же способом, как и выше.


Таким образом, доказана эквивалентность групп $F$ и $H$ в логике
$L_{\omega_1 \omega}$.
$\Box$




\begin{thebibliography}{99}
 \bibitem{BT} Беляев В.Я.,  Тайцлин  М.А.
  {\em Об  элементарных  свойствах  экзистенциально замкнутых систем}
   //  Успехи математических  наук, т.34 (1979), N2, 39-94.
 \bibitem{BLR} Беляев В.Я., Лютикова Е.Е., Ремесленников Н.Н.
  {\em О категоричности конечно-порожденных алгебраических систем
       в $HF$-логике}
   //  Алгебра и логика, т.34 (1995), N1, 12-32.
 \bibitem{K} Кон П.
  {\em Универсальная алгебра} // М.: Мир, 1968.
 \bibitem{M} Мальцев А.И.
  {\em Алгебраические системы} // М.: Наука, 1970.
 \bibitem{R} Роджерс Х.
  {\em Теория  рекурсивных  функций  и  эффективная  вычислимость}
  // М.: Мир, 1972.
  \bibitem{F} Фукс Л.
   {\em Бесконечные абелевы группы. Т.1}
  // М.: Мир, 1974.
  \bibitem{B} Barwise J.
  {\em Admissible sets and structures}, Springer,  Berlin, 1975.
  \bibitem{Ks} Keisler H.J.
  {\em Model theory for infinitary logic}, Amsterdam, 1971.
\end{thebibliography}

\newpage

\thispagestyle{empty}


\begin{center}
Н.Г.Гороховская \\ В.Н.Ремесленников \\ О понятии "быть свободной алгеброй"
в $HF$-логике  \\

\bigskip \bigskip \bigskip \bigskip

Препринт $N$ 23

\bigskip \bigskip \bigskip \bigskip \bigskip \bigskip

Ведущий редактор Л.М.Кицина
\end{center}



\bigskip \bigskip \bigskip \bigskip \bigskip \bigskip \bigskip
\bigskip \bigskip \bigskip \bigskip \bigskip

ЛР $N$ 020380 от 22.10.92. Подписано в печать 06.09.96. Усл-печ.л. 1.3.
Уч.-изд.л. 1.2. Тираж 50 экз. Заказ

\bigskip \bigskip \bigskip \bigskip \bigskip


\noindent \hrulefill
%\begin{picture}(20,1)
%\put(-12,0){\line(1,0){15cm}}
%\end{picture}

\bigskip \bigskip \bigskip \bigskip \bigskip

\begin{center}
Редакционно-издательская служба ОмГУ \\
644077, Омск-77, пр.Мира, 55-а
\end{center}


\end{document}

